【证明】【一题多解】布尔不等式（union bound）的证明

布尔不等式（Boole’s inequality）也叫（union bound），即并集的上界，描述的是至少一个事件发生的概率（P(⋃iAi)" role="presentation">P(⋃iAi)P(⋃iAi)）不大于单独事件（事件之间未必独立）发生的概率之和（∑iP(Ai)" role="presentation">∑iP(Ai)∑iP(Ai)）。

即：

P(⋃iAi)≤∑iP(Ai)" role="presentation">P(⋃iAi)≤∑iP(Ai)P(⋃iAi)≤∑iP(Ai)

展开即为：

P(A1⋃A2⋃⋯)≤P(A1)+P(A2)+⋯" role="presentation">P(A1⋃A2⋃⋯)≤P(A1)+P(A2)+⋯P(A1⋃A2⋃⋯)≤P(A1)+P(A2)+⋯

1. 数学归纳法证明

• 当 n=1" role="presentation">n=1n=1 时，显然 P(A1)≤P(A1)" role="presentation">P(A1)≤P(A1)P(A1)≤P(A1)

• 对于 n" role="presentation">nn，如果有：P(⋃i=1nAi)≤∑i=1nP(Ai)" role="presentation">P(⋃ni=1Ai)≤∑ni=1P(Ai)P(⋃i=1nAi)≤∑i=1nP(Ai)，则由 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)" role="presentation">P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 可知：

  P(⋃i=1n+1Ai)=P({⋃i=1nAi}⋃An+1)=P(⋃i=1nAi)+P(An+1)−P({⋃i=1nAi}⋂An+1)≤P(⋃i=1nAi)+P(An+1)" role="presentation">P(⋃i=1n+1Ai)=P({⋃i=1nAi}⋃An+1)=P(⋃i=1nAi)+P(An+1)−P({⋃i=1nAi}⋂An+1)≤P(⋃i=1nAi)+P(An+1)P(⋃i=1n+1Ai)=P({⋃i=1nAi}⋃An+1)=P(⋃i=1nAi)+P(An+1)−P({⋃i=1nAi}⋂An+1)≤P(⋃i=1nAi)+P(An+1)

2. 将事件转换为独立事件（不相交事件）

假设有A1,A2,A3" role="presentation">A1,A2,A3A1,A2,A3 三个事件，则：

• 令 B1=A1,B2=A2−A1" role="presentation">B1=A1,B2=A2−A1B1=A1,B2=A2−A1，B1" role="presentation">B1B1 与 B2" role="presentation">B2B2 不相交
• 令 B2=A2−A1" role="presentation">B2=A2−A1B2=A2−A1 B3=A3−A2−A1" role="presentation">B3=A3−A2−A1B3=A3−A2−A1，B2" role="presentation">B2B2 与 B3" role="presentation">B3B3 不相交

令 Bi=Ai∖(⋃k=1i−1Ai)" role="presentation">Bi=Ai∖(⋃i−1k=1Ai)Bi=Ai∖(⋃k=1i−1Ai)，则有 B1,B2,⋯," role="presentation">B1,B2,⋯,B1,B2,⋯, 互不相交，且 A1∪A2∪⋯=B1∪B2∪⋯" role="presentation">A1∪A2∪⋯=B1∪B2∪⋯A1∪A2∪⋯=B1∪B2∪⋯，自然 Bi⊂Ai" role="presentation">Bi⊂AiBi⊂Ai ==> P(Bi)≤P(Ai)" role="presentation">P(Bi)≤P(Ai)P(Bi)≤P(Ai)：

P(A1∪A2∪⋯)=P(B1∪B2∪⋯)=P(B1)+P(B2)+⋯≤P(A1)+P(A2)+⋯" role="presentation">P(A1∪A2∪⋯)=P(B1∪B2∪⋯)=P(B1)+P(B2)+⋯≤P(A1)+P(A2)+⋯P(A1∪A2∪⋯)=P(B1∪B2∪⋯)=P(B1)+P(B2)+⋯≤P(A1)+P(A2)+⋯