区间dp之四边形不等式优化详解及证明

看了那么久的四边形不等式优化的原理，今天终于要写一篇关于它的证明了。

在平时的做题中，我们会遇到这样的区间dp问题

它的状态转移方程形式一般为dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i][j]);（或者是max(........）,本博客以min为例来证明）

熟悉一般区间dp的同学应该清楚我们如果想得到最终的答案，一般要用三层for循环来计算（第一层为长度，第二层枚举起始点，第三层在起始点i和终点j之间寻找最优的分割点）。显而易见它的时间复杂度为o(n^3)，但是当cost满足四边形不等式的要求时我们就可以将他优化为o(n^2)。

为什么可以这样呢，请慢慢往下看

首先什么是满足四边形不等式呢

满足四边形不等式用通俗话来讲就是对于一个区间值关系，如果它满足交叉小于包含的话，那么就说它是满足四边形不等式的。

例如当i < i' <=  j < j'时，对于cost的值来说，如果它满足   cost[i][j]+cost[i'][j']<=cost[i][j']+cost[i'][j]  的关系时，那么我们就说它满足四边形不等式。

我们如果想证明一个区间值关系是否满足四边形不等式，光依靠上面的式子来判断还是有点困难的，我们不妨把上面的式子变动一下

我们以 i+1 来替换 i‘ ，以 j+1 来替换 j’ （即  i < i+1<= j < j+1  ），得到下面的式子

即当我们证明了 cost[i][j]+cost[i+1][j+1]<=cost[i][j+1]+cost[i+1][j] 时 ，我们就证明了它满足四边形不等式

我们把它移一下项

变成 cost[i][j]-cost[i+1][j]<=cost[i][j+1]-cost[i+1][j+1]

也就是证明函数F( j )=cost[i][j]-cost[i+1][j]  递增（即F( j )<=F( j+1 )）

当我们的花费数组cost[i][j]满足四边形不等式时，我们怎么将dp的时间复杂度优化为o(n^2)呢？

不幸的是，我们还要证明dp[i][j]满足四边形不等式才行，但是dp数组是我们要求的，它不是已知的，我们怎么知道它满不满足呢。

还记得我们刚刚证明了cost满足四边形不等式了吗，我们可以利用cost来推出dp满足四边形不等式

即证当  i< i+1<=j< j+1 时

dp[i][j]+dp[i+1][j+1]<=dp[i+1][j]+dp[i][j+1]

这个证明有点抽象，我先以一道题目为例使它更加容易理解

样例

7

13 7 8 16 21 4 18

输出

239

我们利用数学归纳法来证明dp数组满足四边形不等式（学过高等数学的同学应该不陌生）（如果你不知道什么是数学归纳法的话请点这里）

我们要证明dp[i][j] + dp[i+1][j+1] <= dp[i][j+1]+dp[i+1][j]成立（i < i+1 <= j < j+1）

1.当 i=1，j=2时(此时i+1=j)

因为

dp[1][1]=dp[2][2]=dp[3][3]=0，

dp[1][2]=w[1][2],dp[2][3]=w[2][3],

dp[1][3]>=w[1][3]

而由四边形不等式可知

w[1][2]+w[2][3]<=w[1][3]+w[2][2]

显然dp[1][2]+dp[2][3]<=dp[1][3]+dp[2][2]成立

2.我们令dp[i][j+1]取得最优值的时候k=x

令dp[i+1][j]取得最优值的时候k=y

当x < =y时(之后还要令x > y的情况类似）

我们假设dp[x+1][j] + dp[y+1][j+1] <= dp[x+1][j+1] + dp[y+1][j]   成立   (此时x+1 <= y+1 <= j < j+1)

这一步是数学归纳法中重要的一部分，先假设小范围的成立，然后推出大范围的成立

对于（i < i+1<=j<j+1）

显然

dp[i][j] <= dp[i][x] + dp[x+1][j] + cost[i][j]

dp[i+1][j+1] <= dp[i+1][y] + dp[y+1][j+1] + cost[i+1][j+1]

dp[i][j] + dp[i+1][j+1]<=dp[i][x] + dp[x+1][j] + cost[i][j] + dp[i+1][y] + dp[y+1][j+1] + cost[i+1][j+1]

又因为cost满足四边形不等式

 cost[i][j] +  cost[i+1][j+1] <=  cost[i][j+1] +  cost[i+1][j]

所以dp[i][x] + dp[x+1][j] + cost[i][j] + dp[i+1][y] + dp[y+1][j+1] + cost[i+1][j+1]

<= dp[i][x] + dp[x+1][j] + cost[i][j+1] + dp[i+1][y] + dp[y+1][j+1] + cost[i+1][j]

又因为dp[x+1][j] + dp[y+1][j+1] <= dp[x+1][j+1] + dp[y+1][j]   成立

所以dp[i][x] + dp[x+1][j] + cost[i][j+1] + dp[i+1][y] + dp[y+1][j+1] + cost[i+1][j]

<= dp[i][x] + dp[x+1][j+1] + cost[i][j+1] + dp[i+1][y] + dp[y+1][j] + cost[i+1][j]

=dp[i][j+1]+dp[i+1][j]

即dp[i][j] + dp[i+1][j+1] <= dp[i][j+1]+dp[i+1][j] 成立

(x+1 <= y+1 <= j < j+1)是包含在（i < i+1 <= j < j+1）里的

综上，由数学归纳法得证dp也满足四边形不等式

不理解的同学可以这样想想，显然dp[1][1],dp[2][2].....dp[n-1][n-1],dp[n][n]的值在本题中显然为0，它是满足四边形不等式的（此时dp长度为1）

而dp[1][2],dp[2][3].....dp[n-2][n-1],dp[n-1][n]的值显然为cost[1][2],cost[2][3].....cost[n-2][n-1],cost[n-1][n], 它是满足四边形不等式的（由dp[1][2]+dp[2][3]<=dp[1][3]+dp[2][2]成立可以类比推出来）

(此时dp的长度为n-(n-1)+1=2，即长度为2，枚举每个起点，知道长度，得到他们的dp值)

对于dp长度为3的值，它一定是长度小于它的dp值推出来的，所以，当长度小于它的dp值满足四边形不等式时，我们可以推出当前长度为3的dp值也满足四边形不等式

一直只要依次推下去，就可以得到dp是满足四边形不等式的

现在我们推出了dp是满足四边形不等式的

我们现在就可以尝试去降低算法的时间复杂度了

那它是怎么降低的呢？

我们只要证明最后一样关系式就可以了

即s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]（s[i][j]表示dp[i][j]的最优分割点（dp[i][j]=min(t|dp[i][t]+dp[t+1][j]+cost[i][j])））

我们令d=s[i][j-1] , k <= d

cut=x 表示以x为分割点的dp值（即dp[i][j]=dp[i][x]+dp[x+1][j]+cost[i][j]）

构造一个式子

(dp[i][j] - dp[i][j]) - (dp[i][j-1] - dp[i][j-1])

cut=k       cut=d       cut=k        cut=d

=(dp[i][j] + dp[i][j-1]) - (dp[i][j-1] + dp[i][j])

cut=k      cut=d           cut=k        cut=d

=(dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i][j]+dp[i][d]+dp[d+1][j-1]+cost[i][j-1])-(dp[i][k]+dp[k+1][j-1]+cost[i][j-1]+dp[i][d]+dp[d+1][j]+cost[i][j] )

=(dp[k+1][j]+dp[d+1][j-1])-（dp[k+1][j-1]+dp[d+1][j]）

因为  k+1<=d+1 <=j-1< j，由四边形不等式可知

=dp[k+1][j]+dp[d+1][j-1] >= dp[k+1][j-1]+dp[d+1][j]

所以

(dp[i][j] - dp[i][j]) - (dp[i][j-1] - dp[i][j-1]) >= 0

cut=k       cut=d       cut=k        cut=d

移一下项

(dp[i][j] - dp[i][j]) >= (dp[i][j-1] - dp[i][j-1])

cut=k       cut=d         cut=k        cut=d

又因为d是dp[i][j-1]的最优分割点

所以

(dp[i][j-1] - dp[i][j-1]) >=0   (因为cut=d时dp[i][j-1]取最小值,cut取其他位置时得到的值必然大于在d点切割取的值)

cut=k        cut=d

所以

(dp[i][j] - dp[i][j]) >=0

cut=k       cut=d

又因为k是任意小于d的数（k<=d）

dp[i][j] >= dp[i][j]

cut=k       cut=d

所以要想dp[i][j]最小，那么它的最优分割点s[i][j]必然大于等于d (d=s[i][j-1])

即 s[i][j] >= s[i][j-1]

证毕，同理可得

s[i][j] <= s[i+1][j]

有了s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]这个结论

我们就可以把第三层for循环找最优分割点的区间从（i，j） 缩小到（s[i][j-1],s[i+1][j]）

这样就把第三层for循环的时间复杂度从o(n)降到o(1)

从而把整个时间复杂度从o(n^3)降到o(n^2)。

本人因为知识有限，本博客的证明可能存在不正确的地方，欢迎大家加我的QQ给予指教。

qq：2465806616

参考博客：

https://blog.csdn.net/qq_41695941/article/details/83025188

https://blog.csdn.net/noiau/article/details/72514812