线性dp 之 麻烦的聚餐

题目描述

为了避免餐厅过分拥挤，FJ要求奶牛们分3批就餐。每天晚饭前，奶牛们都会在餐厅前排队入内，按FJ的设想，所有第3批就餐的奶牛排在队尾，队伍的前端由设定为第1批就餐的奶牛占据，中间的位置就归第2批就餐的奶牛了。

由于奶牛们不理解FJ的安排，晚饭前的排队成了一个大麻烦。

第i头奶牛有一张标明她用餐批次\(D_i(1<=D_i<=3)\)的卡片。虽然所有\(N(1<=N<=30000)\)头奶牛排成了很整齐的队伍，但谁都看得出来，卡片上的号码是完全杂乱无章的。

在若干次混乱的重新排队后，FJ找到了一种简单些的方法：

• 奶牛们不动，他沿着队伍从头到尾走一遍，把那些他认为排错队的奶牛卡片上的编号改掉，最终得到一个他想要的每个组中的奶牛都站在一起的队列。
• 例如111222333或者333222111。
  
  哦，你也发现了，FJ不反对一条前后颠倒的队列，那样他可以让所有奶牛向后转，然后按正常顺序进入餐厅。
  
  你也晓得，FJ是个很懒的人。他想知道，如果他想达到目的，那么他最少得改多少头奶牛卡片上的编号。所有奶牛在FJ改卡片编号的时候，都不会挪位置。

输入格式

第1行:1个整数：N

第2...N+1行: 第i+1行是1个整数，为第i头奶牛的用餐批次\(D_i\)

输出格式

第1行: 输出1个整数，为FJ最少要改几头奶牛卡片上的编号，才能让编号变成他设想中的样子

样例输入

5
1
3
2
1
1

样例输出

1

数据范围与提示

【输入说明】

队列中共有5头奶牛，第1头以及最后2头奶牛被设定为第一批用餐，第2头奶牛的预设是第三批用餐，第3头则为第二批用餐。

【输出说明】

如果FJ想把当前队列改成一个不下降序列，他至少要改2头奶牛的编号，一种可行的方案是：

• 把队伍中2头编号不是1的奶牛的编号都改成1。
• 不过，如果FJ选择把第1头奶牛的编号改成3就能把奶牛们的队伍改造成一个合法的不上升序列了。

题解

本题的题意就是将序列改为不下降序列或者不上升序列，求出最少需要修改几次。

所以就很简单了，求出原序列中的最长不下降子序列的长度\(d1\)和最长不上升子序列的长度\(d2\)。然后计算，第一种改法需要\(n-d1\)，同理的第二次改法需要\(n-d2\)，然后在这两个值中取出一个最小值即可。

代码

首先直接动归，代码如下所示，然后呵呵，wa了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=30100,INF=0x3f3f3f3f;
int a[maxn],dp[maxn];
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
        dp[i]=1;
    int ans=-INF;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    	for(int j=1;j<i;++j)
    		if((a[i]>=a[j]) && (dp[i]<dp[j]+1)){
          		dp[i]=dp[j]+1;
          		ans=max(dp[i],ans);
       }
    for(int i=1;i<=n;++i)
		dp[i]=1;
    for(int i=n-1;i>=1;--i)
    	for(int j=n;j>i;j--)
    		if((a[i]>=a[j])&&(dp[i]<dp[j]+1)){
            	dp[i]=dp[j]+1;
            	ans=max(dp[i],ans);
			}
	printf("%d",n-ans);
}

然后 \(n*log_n\)优化，上ac代码，ac的感觉真好。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=30100;
int a[maxn],f[maxn];
int len1,len2;
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
    f[len1]=-1;f[++len1]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(a[i] >= f[len1]) f[++len1]=a[i];
        else{
            int pos=upper_bound(f+1,f+len1+1,a[i])-f;
            f[pos]=a[i];
        }
    }
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[len2]=-1;f[++len2]=a[n];
    for(int i=n-1;i>=1;--i){
        if(a[i]>=f[len2]) f[++len2]=a[i];
        else{
            int pos=upper_bound(f+1,f+len2+1,a[i])-f;
            f[pos]=a[i];
        }
    }
    int ans=max(len1,len2);
    printf("%d",n-ans);
}