HDU2837 Calculation（指数循环节）题解

题意：

已知\(f(0)=1,f(n)=(n\%10)^{f(n/10)}\)，求\(f(n)\mod m\)

思路：

由扩展欧拉定理可知：当\(b>=m\)时，\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\mod m\)，那么我们可以通过这个式子直接去递归求解。

在递归的时候每次给下一个的模数都是\(phi(mod)\)，那么我们求出来之后，怎么知道要不要再加\(phi(m)\)？

我们可以在每次返回的时候用一个特殊的快速幂返回正确的值。然后每次特判返回值的时候都要一样：

a = mod? a % mod + mod : a

ll ksm(ll a, ll b, ll mod){
    ll ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = ret * a;
        if(ret >= mod){
            ret = ret % mod + mod;
        }
        a = a * a;
        if(a >= mod){
            a = a % mod + mod;
        }
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

代码：

#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int MAXM = 3e6;
const ll MOD = 998244353;
const ull seed = 131;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

ll euler(ll n){
    ll res = n, a = n;
    for(int i = 2; i * i <= a; i++){
        if(a % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(a % i == 0) a/= i;
        }
    }
    if(a > 1) res = res / a * (a - 1);
    return res;
}
ll ksm(ll a, ll b, ll mod){
    ll ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = ret * a;
        if(ret >= mod){
            ret = ret % mod + mod;
        }
        a = a * a;
        if(a >= mod){
            a = a % mod + mod;
        }
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
ll f(ll a, ll mod){
    if(a == 0) return 1 >= mod? 1 % mod + mod : 1;
    if(mod == 1) return a >= mod? a % mod + mod : a;    //剪枝
    ll phm = euler(mod);
    ll b = f(a / 10, phm);
    return ksm(a % 10, b, mod);
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        ll n, m;
        scanf("%lld%lld", &n, &m);
        printf("%lld\n", f(n, m) % m);  //这里要取模
    }
    return 0;
}