文章标题借用了Hawstein的译文《动态规划:从新手到专家》。

1. 概述

动态规划( Dynamic Programming, DP)是最优化问题的一种解决方法,本质上状态空间的状态转移。所谓状态转移是指每个阶段的最优状态(对应于子问题的解)可以从之前的某一个或几个阶段的状态中得到,这个性质叫做最优子结构。而不管之前这个状态是如何得到的,这被称之为无后效性

DP问题中最经典的莫过于01背包问题:

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值;则其状态转移方程:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

2. 题解

LeetCode题目 归类
53. Maximum Subarray 子数组最大和
121. Best Time to Buy and Sell Stock 子数组最大和
122. Best Time to Buy and Sell Stock II 子序列最大和
123. Best Time to Buy and Sell Stock III
188. Best Time to Buy and Sell Stock IV
55. Jump Game
70. Climbing Stairs
62. Unique Paths
63. Unique Paths II
64. Minimum Path Sum 最短路径
91. Decode Ways

以下代码既有Java,也有Go。

53. Maximum Subarray

子数组最大和问题,求解方法可用Kadane算法

121. Best Time to Buy and Sell Stock

题目大意:给定数组\(a[..]\),求解\(\max a[j] - a[i] \quad j > i\)。

解决思路:将数组a的相邻值相减(右边减左边)变换成数组b,上述问题转变成了求数组b的子数组最大和问题.

// Kadane algorithm to solve Maximum subArray problem
public int maxProfit(int[] prices) {
int maxEndingHere = 0, maxSoFar = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
maxEndingHere += prices[i] - prices[i - 1];
maxEndingHere = Math.max(maxEndingHere, 0);
maxSoFar = Math.max(maxEndingHere, maxSoFar);
}
return maxSoFar;
}

122. Best Time to Buy and Sell Stock II

之前问题Best Time to Buy and Sell Stock的升级版,对交易次数没有限制,相当于求解相邻相减后形成的子序列最大和——只要为正数,则应计算在子序列内。

public int maxProfit(int[] prices) {
int max = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
if (prices[i] > prices[i - 1]) {
max += (prices[i] - prices[i - 1]);
}
}
return max;
}

123. Best Time to Buy and Sell Stock III

最多允许交易两次。

public int maxProfit(int[] prices) {
int sell1 = 0, sell2 = 0;
int buy1 = Integer.MIN_VALUE, buy2 = Integer.MIN_VALUE;
for (int price : prices) {
buy1 = Math.max(buy1, -price); // borrow
sell1 = Math.max(sell1, buy1 + price);
buy2 = Math.max(buy2, sell1 - price);
sell2 = Math.max(sell2, buy2 + price);
}
return sell2;
}

188. Best Time to Buy and Sell Stock IV

最多允许交易k次。当k >= n/2时,在任意时刻都可以进行交易(一次交易包括买、卖),因此该问题退化为了问题122. Best Time to Buy and Sell Stock II。其他情况则有递推式:

\[c_{i,j} = \max (c_{i,j-1}, \ \max (c_{i-1,t} - p_t) + p_j),\quad 0 \leq t < j
\]

其中,\(c_{i,j}\)表示在\(t\)时刻共\(i\)次交易产生的最大收益。

public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n <= 1) {
return 0;
}
// make transaction at any time
else if (k >= n / 2) {
return maxProfit122(prices);
}
int[][] c = new int[k + 1][n];
for (int i = 1; i <= k; i++) {
int localMax = -prices[0];
for (int j = 1; j < n; j++) {
c[i][j] = Math.max(c[i][j - 1], localMax + prices[j]);
localMax = Math.max(localMax, c[i - 1][j] - prices[j]);
}
}
return c[k][n - 1];
} public int maxProfit122(int[] prices) {
int max = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
if (prices[i] > prices[i - 1]) {
max += (prices[i] - prices[i - 1]);
}
}
return max;
}

55. Jump Game

限制当前最大跳跃数,问是否能到达最后一个index。需要反向往后推演。

public boolean canJump(int[] nums) {
int n = nums.length, index = n - 1;
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
if (i + nums[i] >= index)
index = i;
}
return index <= 0;
}

70. Climbing Stairs

题目大意:每一次可以加1或加2,那么从0加到n共有几种加法?

假定\(d_i\)表示加到i的种数,那么就有递推式\(d_i = d_{i-1} + d_{i-2}\)。

func climbStairs(n int) int {
if(n < 1) {
return 0;
}
d := make([]int, n+1)
d[1] = 1
if n >= 2 {
d[2] = 2
}
for i := 3; i<=n; i++ {
d[i] = d[i-1] + d[i-2]
}
return d[n]
}

62. Unique Paths

题目大意:求解从左上角到右下角的路径数。

路径数递推式:\(c_{i,j}= c_{i-1,j} + c_{i,j-1}\)。

func uniquePaths(m int, n int) int {
f := make([][]int, m)
for i := range f {
f[i] = make([]int, n)
}
// handle boundary condition: f[][0] and f[0][]
f[0][0] = 1
for i := 1; i < m; i++ {
f[i][0] = 1
}
for j := 1; j < n; j++ {
f[0][j] = 1
}
for i := 1; i < m; i++ {
for j := 1; j < n; j++ {
f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j]
}
}
return f[m-1][n-1]
}

63. Unique Paths II

加了限制条件,有的点为obstacle——不允许通过。上面的递推式依然成立,只不过要加判断条件。另外,在实现过程中可以用一维数组代替二维数组,比如说按行或按列计算。

public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int columnSize = obstacleGrid[0].length;
int[] c = new int[columnSize];
c[0] = 1;
for (int[] row : obstacleGrid) {
for (int j = 0; j < columnSize; j++) {
if (row[j] == 1)
c[j] = 0;
else if (j >= 1)
c[j] += c[j - 1];
}
}
return c[columnSize - 1];
}

64. Minimum Path Sum

题目大意:从矩阵的左上角到右下角的最短路径。

加权路径值\(c_{i,j}= \max (c_{i-1,j},c_{i,j-1}) + w_{i,j}\),其中,\(w_{i,j}\)为图中边的权值。

// the shortest path for complete directed graph
func minPathSum(grid [][]int) int {
var m, n = len(grid), len(grid[0])
f := make([][]int, m)
for i := range f {
f[i] = make([]int, n)
}
// handle boundary condition: f[][0] and f[0][]
f[0][0] = grid[0][0]
for i := 1; i < m; i++ {
f[i][0] = f[i - 1][0] + grid[i][0]
}
for j := 1; j < n; j++ {
f[0][j] = f[0][j-1] + grid[0][j]
}
for i :=1; i < m; i++ {
for j := 1; j<n; j++ {
if(f[i-1][j] < f[i][j-1]) {
f[i][j] = f[i-1][j] + grid[i][j]
} else {
f[i][j] = f[i][j-1] + grid[i][j]
} }
}
return f[m-1][n-1]
}

91. Decode Ways

求解共有多少种解码情况。

public int numDecodings(String s) {
int n = s.length();
if (n == 0 || (n == 1 && s.charAt(0) == '0'))
return 0;
int[] d = new int[n+1];
d[n] = 1;
d[n - 1] = s.charAt(n - 1) == '0' ? 0 : 1;
for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
if(s.charAt(i) == '0')
continue;
else if(Integer.parseInt(s.substring(i, i+2)) <= 26)
d[i] += d[i + 2];
d[i] += d[i + 1];
}
return d[0];
}

【LeetCode题解】动态规划:从新手到专家(一)的更多相关文章

  1. [LeetCode 题解]:Best Time to Buy and Sell Stock

    前言   [LeetCode 题解]系列传送门:  http://www.cnblogs.com/double-win/category/573499.html   1.题目描述 Say you ha ...

  2. Leetcode之动态规划(DP)专题-486. 预测赢家(Predict the Winner)

    Leetcode之动态规划(DP)专题-486. 预测赢家(Predict the Winner) 给定一个表示分数的非负整数数组. 玩家1从数组任意一端拿取一个分数,随后玩家2继续从剩余数组任意一端 ...

  3. Leetcode之动态规划(DP)专题-877. 石子游戏(Stone Game)

    Leetcode之动态规划(DP)专题-877. 石子游戏(Stone Game) 亚历克斯和李用几堆石子在做游戏.偶数堆石子排成一行,每堆都有正整数颗石子 piles[i] . 游戏以谁手中的石子最 ...

  4. LeetCode题解分类汇总(包括剑指Offer和程序员面试金典,持续更新)

    LeetCode题解汇总(持续更新,并将逐步迁移到本博客列表中) 剑指Offer 数据结构 链表 序号 题目 难度 06 从尾到头打印链表 简单 18 删除链表的节点 简单 22 链表中倒数第k个节点 ...

  5. 【LeetCode题解】二叉树的遍历

    我准备开始一个新系列[LeetCode题解],用来记录刷LeetCode题,顺便复习一下数据结构与算法. 1. 二叉树 二叉树(binary tree)是一种极为普遍的数据结构,树的每一个节点最多只有 ...

  6. LeetCode之“动态规划”:Distinct Subsequences

    题目链接 题目要求: Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S. A s ...

  7. leetcode题解-122买卖股票的最佳时期

    题目 leetcode题解-122.买卖股票的最佳时机:https://www.yanbinghu.com/2019/03/14/30893.html 题目详情 给定一个数组,它的第 i 个元素是一支 ...

  8. 【LeetCode题解】3_无重复字符的最长子串(Longest-Substring-Without-Repeating-Characters)

    目录 描述 解法一:暴力枚举法(Time Limit Exceeded) 思路 Java 实现 Python 实现 复杂度分析 解法二:滑动窗口(双指针) 思路 Java 实现 Python 实现 复 ...

  9. 【LeetCode题解】225_用队列实现栈(Implement-Stack-using-Queues)

    目录 描述 解法一:双队列,入快出慢 思路 入栈(push) 出栈(pop) 查看栈顶元素(peek) 是否为空(empty) Java 实现 Python 实现 解法二:双队列,入慢出快 思路 入栈 ...

随机推荐

  1. NetCore1.1+Linux部署初体验

    1.环境准备 Centaos7+Win10 虚拟机 Win10安装VS2017 https://www.asp.net/downloads注意勾选下.Net Core 3.Centaos安装netco ...

  2. .NET C#到Java没那么难,Servlet篇

    前言 .NET C#到Java没那么难,都是面向对向的语言,而且语法还是相似的,先对比一下开发环境,再到Servlet,再到MVC,都是一样一样的,只是JAVA的配制项比较多而已,只要配好一个,后面都 ...

  3. hibernate,createCriteria in条件 是一个集合。list 或 数组等

    hibernate,createCriteria in条件 是一个集合.list 或 数组等 cq.in("states", new String[]{"2", ...

  4. php5.6在yum下安装redis

    yum install redis php-redis --enablerepo=remi,remi-php56 设置redis开机自动启动,具体路径以实际为准, echo "/usr/bi ...

  5. 编写运行最简单的java程序——使用记事本编写java程序

    第一个java程序--使用记事本编辑 经过上篇文章的java环境搭建成功的小伙伴们可以在自己的计算机上编写属于自己的java程序了yo~ 还没有搭建环境变量的小伙伴请转移到上一篇的随笔中去完成搭建. ...

  6. 关于DOM中的model(将元素转成对象进行操作)

    DOM document (html, xml) object 将文档中的HTML元素转成js的对象 通过ID找到文档的元素转成js对象 var obj = document.getElementBy ...

  7. 第一个SpringMVC实例和解析(HelloSpringMVC)

    1. 开发步骤: (1)增加Spring支持 下载Spring安装包和其依赖的commons-logging.jar,复制到项目Web应用的lib文件夹(WebRoot/WEB-INF/lib): S ...

  8. 虚拟机VMware网络类型&&SSH远程连接Linux

    前言: Linux专题是16年11月开始写,说来惭愧,已经5个月没学Linux,至今感觉连入门还没达到.暑假实习有投运维开发岗位,无奈对Linux不熟悉,校招简历也被刷了.so, 我打算先花1个月内的 ...

  9. Java基础(2)-基础类型

    java基础类型 基础类型 package knowledge.base; public class Properties { /** * 整型 * int 4字节 -2 147 483 648 ~2 ...

  10. Python3 从入门到出门

    引:此文是自己学习python过程中的笔记和总结,适合有语言基础的人快速了解python3和没基础的作为学习的大纲,了解学习的方向:笔记是从多本书和视频上学习后的整合版. (一)初识python 1. ...