[luoguP1417] 烹调方案（背包DP）

传送门

By tinylic

如果没有b[i]这个属性的话就是明显的01背包问题。

现在考虑相邻的两个物品x,y。假设现在已经耗费p的时间，那么分别列出先做x,y的代价：

a[x]-(p+c[x])*b[x]+a[y]-(p+c[x]+c[y])*by

a[y]-(p+c[y])*b[y]+a[x]-(p+c[y]+c[x])*bx

对这两个式子化简，得到①＞②的条件是c[x]*b[y]<c[y]*b[x].

发现只要满足这个条件的物品对(x,y)，x在y前的代价永远更优。

因此可以根据这个条件进行排序，之后就是简单的01背包了。

然而我看这个DP方程还不是完全的01背包，应该是 f[i] 表示到时刻 i 的最优解，且时刻 i 必须得用

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 100001
#define LL long long
#define max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
 
int T, n;
LL ans, f[N];
 
struct node
{
    LL a, b, c;
}p[51];
 
inline int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
    return x * f;
}
 
inline bool cmp(node x, node y)
{
    return x.c * y.b < y.c * x.b;
}
 
int main()
{
    int i, j;
    T = read();
    n = read();
    for(i = 1; i <= n; i++) p[i].a = read();
    for(i = 1; i <= n; i++) p[i].b = read();
    for(i = 1; i <= n; i++) p[i].c = read();
    std::sort(p + 1, p + n + 1, cmp);
    for(i = 1; i <= n; i++)
        for(j = T; j >= p[i].c; j--)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - p[i].c] + p[i].a - j * p[i].b);
            ans = max(ans, f[j]);
        }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}