LOJ#139. 树链剖分

题目描述

这是一道模板题。

给定一棵$n$个节点的树,初始时该树的根为 1 号节点,每个节点有一个给定的权值。下面依次进行 m 个操作,操作分为如下五种类型:

  • 换根:将一个指定的节点设置为树的新根。

  • 修改路径权值:给定两个节点,将这两个节点间路径上的所有节点权值(含这两个节点)增加一个给定的值。

  • 修改子树权值:给定一个节点,将以该节点为根的子树内的所有节点权值增加一个给定的值。

  • 询问路径:询问某条路径上节点的权值和。

  • 询问子树:询问某个子树内节点的权值和。

输入格式

第一行为一个整数 n,表示节点的个数。

第二行 n 个整数表示第 i 个节点的初始权值 $a_i$​​。

第三行 $n-1$ 个整数,表示 $i+1$号节点的父节点编号$f_{i+1}(1\leqslant f_{i+1}\leqslant n)$。

第四行一个整数$m$,表示操作个数。

接下来 $m$行,每行第一个整数表示操作类型编号:$(1 \leqslant u, v \leqslant n)$

  • 若类型为 $1$,则接下来一个整数 $u$,表示新根的编号。

  • 若类型为 $2$,则接下来三个整数 $u,v,k$,分别表示路径两端的节点编号以及增加的权值。

  • 若类型为 $3$,则接下来两个整数 $u,k$,分别表示子树根节点编号以及增加的权值。

  • 若类型为 $4$,则接下来两个整数$u,v$,表示路径两端的节点编号。

  • 若类型为 $5$,则接下来一个整数 $u$,表示子树根节点编号。

输出格式

对于每一个类型为 $4$ 或 $5$ 的操作,输出一行一个整数表示答案。

样例

样例输入

6
1 2 3 4 5 6
1 2 1 4 4
6
4 5 6
2 2 4 1
5 1
1 4
3 1 2
4 2 5

样例输出

15
24
19

数据范围与提示

对于 100% 的数据,$1\leqslant n,m,k,a_i\leqslant 10^5$​​。数据有一定梯度。


题解Here!

这个题如果没有换根就是一道沙茶题。。。
如果是沙茶题我还会写博客吗。。。
看到换根,想起了$LCT$,但是这个$LCT$还要维护子树信息,简直毒瘤啊。。。
所以我们选择树链剖分+线段树。
线段树是区间修改,区间加的利器!
当然你真的要用$LCT$我也不拦着。。。
没有换根很好做对吧。
考虑换根对每个操作的影响。
手玩几个小数据之后发现,如果我们以$1$为根建树,换根对$2,4$操作是没有影响的!
所以直接套上板子。
那子树怎么办?
我们不是以$1$为根建树了吗?
那就分类讨论一下$root$是否在子树内就好。
1. 如果$x==root$,那就是修改/查询整棵树,直接$update(1,n),query(1,n)$就好。
2. 如果$LCA(x,root)!=x$,即$id[x]>id[root]\ or\ id[root]>id[x]+size[x]-1$,那么修改/查询跟$root$没有关系,直接修改/查询$x$的子树$[id[x],id[x]+size[x]-1]$就好。
3. 如果$LCA(x,root)==x$,即$id[x]<=id[root]\ and\ id[root]<=id[x]+size[x]-1$,这时比较麻烦。
我们已经知道$deep[root]>deep[x]$了。
那么我们发现,换完根后,所改变的只有$x$的所有子树中,包含$root$的那颗子树!
那么我们可以找到$x$的所有子树中,包含$root$的那颗子树的根节点,也就是$x$的某个儿子,设为$y$。
然后对除了$y$的子树$[id[y],id[y]+size[y]-1]$之外的所有节点进行修改/查询。
也就是对$[1,id[y]-1],[id[y]+size[y],n]$这两个区间进行修改/查询。
那怎么找$y$呢?
我们可以从$root$开始暴力跳链,直到重链的顶端的父亲是$x$。
如果重链的顶端的深度大于了$x$的深度,那么说明$x$与重链的顶端在一条重链上,直接返回$x$的重儿子$son[x]$即可。
于是这个问题就完美解决了!
妈妈再也不用担心树剖做不了换根了!
$UPDATE$:原来的板子有错。。。
但是我很好奇它是怎么过的。。。
于是修改了一下。
但是原来的$666ms$的提交没有了555.。。
附代码:
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define LSON rt<<1
#define RSON rt<<1|1
#define DATA(x) b[x].data
#define SIGN(x) b[x].c
#define LSIDE(x) b[x].l
#define RSIDE(x) b[x].r
#define WIDTH(x) (RSIDE(x)-LSIDE(x)+1)
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,m,c=1,d=1,root;
int val[MAXN],head[MAXN],deep[MAXN],son[MAXN],size[MAXN],fa[MAXN],id[MAXN],pos[MAXN],top[MAXN];
struct Tree{
int next,to;
}a[MAXN<<1];
struct Segment_Tree{
long long data,c;
int l,r;
}b[MAXN<<2];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
inline void pushup(int rt){
DATA(rt)=DATA(LSON)+DATA(RSON);
}
inline void pushdown(int rt){
if(!SIGN(rt)||LSIDE(rt)==RSIDE(rt))return;
SIGN(LSON)+=SIGN(rt);
DATA(LSON)+=SIGN(rt)*WIDTH(LSON);
SIGN(RSON)+=SIGN(rt);
DATA(RSON)+=SIGN(rt)*WIDTH(RSON);
SIGN(rt)=0;
}
void buildtree(int l,int r,int rt){
LSIDE(rt)=l;RSIDE(rt)=r;SIGN(rt)=0;
if(l==r){
DATA(rt)=val[pos[l]];
return;
}
int mid=l+r>>1;
buildtree(l,mid,LSON);
buildtree(mid+1,r,RSON);
pushup(rt);
}
void update(int l,int r,long long c,int rt){
if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r){
SIGN(rt)+=c;
DATA(rt)+=c*WIDTH(rt);
return;
}
pushdown(rt);
int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
if(l<=mid)update(l,r,c,LSON);
if(mid<r)update(l,r,c,RSON);
pushup(rt);
}
long long query(int l,int r,int rt){
long long ans=0;
if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r)return DATA(rt);
pushdown(rt);
int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
if(l<=mid)ans+=query(l,r,LSON);
if(mid<r)ans+=query(l,r,RSON);
return ans;
}
inline void add(int x,int y){
a[c].to=y;a[c].next=head[x];head[x]=c++;
a[c].to=x;a[c].next=head[y];head[y]=c++;
}
void dfs1(int rt){
son[rt]=0;size[rt]=1;
for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
int will=a[i].to;
if(!deep[will]){
deep[will]=deep[rt]+1;
fa[will]=rt;
dfs1(will);
size[rt]+=size[will];
if(size[will]>size[son[rt]])son[rt]=will;
}
}
}
void dfs2(int rt,int f){
id[rt]=d++;pos[id[rt]]=rt;top[rt]=f;
if(son[rt])dfs2(son[rt],f);
for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
int will=a[i].to;
if(will!=fa[rt]&&will!=son[rt])dfs2(will,will);
}
}
int check(int x){
if(x==root)return -1;
if(id[x]<=id[root]&&id[root]<=id[x]+size[x]-1){
int y=root;
while(deep[y]>deep[x]){
if(fa[top[y]]==x)return top[y];
y=fa[top[y]];
}
return son[x];
}
return 0;
}
void update_path(int x,int y,int k){
while(top[x]!=top[y]){
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
update(id[top[x]],id[x],k,1);
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
update(id[x],id[y],k,1);
}
void update_subtree(int x,int k){
int y=check(x);
if(y==-1)update(1,n,k,1);
else if(y==0)update(id[x],id[x]+size[x]-1,k,1);
else{
update(1,n,k,1);
update(id[y],id[y]+size[y]-1,-k,1);
}
}
void query_path(int x,int y){
long long s=0;
while(top[x]!=top[y]){
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
s+=query(id[top[x]],id[x],1);
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
s+=query(id[x],id[y],1);
printf("%lld\n",s);
}
void query_subtree(int x){
long long s;
int y=check(x);
if(y==-1)s=query(1,n,1);
else if(y==0)s=query(id[x],id[x]+size[x]-1,1);
else s=query(1,n,1)-query(id[y],id[y]+size[y]-1,1);
printf("%lld\n",s);
}
void work(){
int f,x,y,k;
while(m--){
f=read();x=read();
switch(f){
case 1:root=x;break;
case 2:{
y=read();k=read();
update_path(x,y,k);
break;
}
case 3:{
k=read();
update_subtree(x,k);
break;
}
case 4:{
y=read();
query_path(x,y);
break;
}
case 5:query_subtree(x);break;
}
}
}
void init(){
int x;
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read();
for(int i=2;i<=n;i++){
x=read();
add(i,x);
}
m=read();
root=1;
deep[1]=1;
dfs1(1);
dfs2(1,1);
buildtree(1,n,1);
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}

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