HDU3709 Balanced Number —— 数位DP
题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-3709
Balanced Number
Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/65535 K (Java/Others)
Total Submission(s): 6615 Accepted Submission(s): 3174
to calculate the number of balanced numbers in a given range [x, y].
0 9
7604 24324
897
题解:
1.对于一个数,我们枚举每个位置作为平衡点,去判断是否存在一个位置使得这个数左右平衡。对于非0的数,如果它是平衡数,那么它的平衡点只有一个。(因为假设aaaa0bbb这个数的平衡点0,如果把平衡点往左移,那么左边变轻,右边变重,原本是平衡的,那改变之后就往右倾斜了。同理平衡点往右移。)所以是+1,正好一一对应。但是对于0,它的任意一个位置都可以作为平衡点,所以需要去重。
2. dp[pos][pivot][num]:处理到pos位置,以pivot为平衡点,且左力矩比右力矩大num的情况下,有多少种情况。
问:
1.为什么dp数组要有“pivot”这一维,直接:dp[pos][num]不行吗?
答:虽然有num记录了当前位的“左力矩 - 右力矩”的大小,但是如果两种情况的pivot不同,那么在pos后面的位置,他们的值的变化是不一样的,即这两种情况不是等价的。只有在相同的位置pos下,他们的平衡点pivot相同,且“左力矩 - 右力矩”的大小且相同,后面位置的数字变化才是等价的。
2.dp[pos][leftnum][rightnum] 这样记录不行吗?
答:其实这样跟dp[pos][num]的情况是一样的,都没有记录平衡点pivot的位置,导致后面位置的数值变化可能不等价。
代码如下:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double eps = 1e-;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+;
const int MAXN = 1e6+; int digit[];
LL dp[][][]; LL dfs(int pos, int pivot, int num, bool lim)
{
if(!pos) return (num==);
//剪枝,因为先加左边的,后减左边的,最终结果需要为0,如果过程中都出现负数,那减下去更加负,所以不可能符合条件
if(num<) return ;
if(!lim && dp[pos][pivot][num]!=-) return dp[pos][pivot][num]; LL ret = ;
int maxx = lim?digit[pos]:;
for(int i = ; i<=maxx; i++) //num+(pos-pivot)*i: 高位的加, 低位的减。这条式子很漂亮,刚好能满足力矩的计算
ret += dfs(pos-, pivot, num+(pos-pivot)*i, lim&&(i==maxx)); if(!lim) dp[pos][pivot][num] = ret;
return ret;
} LL solve(LL n)
{
int len = ;
while(n)
{
digit[++len] = n%;
n /= ;
} LL ret = ;
for(int i = ; i<=len; i++)
ret += dfs(len, i, , true); /*
为什么要减去len-1呢?原因是“0”这种情况,0在这里的表示是:000……00(len个0)。对于一个数
我们枚举每个位置作为平衡点,去判断是否存在一个位置使得这个数左右平衡。对于非0的数,如果
它是平衡数,那么它的平衡点只有一个,所以是+1,正好一一对应. 但对于000……00来说,它的每个
位置都可以作为平衡点( 因为左右两边都等于0),所以是+len,但是000……00却只是一个数,所以
需要减去重复计算的部分,即len-1.
*/
return ret-(len-);
} int main()
{
LL T, n, m;
scanf("%lld", &T);
memset(dp,-,sizeof(dp));
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&m,&n);
LL ans = solve(n) - solve(m-);
printf("%lld\n", ans);
}
return ;
}
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