洛谷——P1082 同余方程
P1082 同余方程
题目描述
求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。
输入输出格式
输入格式:
输入只有一行,包含两个正整数 a, b,用一个空格隔开。
输出格式:
输出只有一行,包含一个正整数 x0,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入输出样例
3 10
7
说明
【数据范围】
对于 40%的数据,2 ≤b≤ 1,000;
对于 60%的数据,2 ≤b≤ 50,000,000;
对于 100%的数据,2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。
NOIP 2012 提高组 第二天 第一题
思路:
裸地扩展欧几里得
扩展欧几里得(求同余方程)
应用性质:
对于不完全为0的整数a,b存在a*x+b*y==gcd(a,b)
化简式子:
使a为两数中较大的数
当b==0时,gcd(a,b)==gcd(a,0)==a
所以当b==0时,x==1,y==0
同时,ax+by==gcd(a,b),bx1+a%by1==gcd(b,a%b)
所以,ax+by==bx1+(a-a/b*b)*y1;
ax+by==bx1+ay1-a/b*b*y1
ax+by==ay1+b(x1-a/b*y1)
即:
x==y1,y==x1-a/b*y1
由此可得出扩展欧几里得求x,y的递归式
代码:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int a,b,x,y,gcd; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { ) { x=,y=; return a; } int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp; tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y; return r; } int read() { ,f=; char ch=getchar(); ; ch=getchar();} +ch-'; ch=getchar();} return x*f; } int main() { a=read(),b=read(); gcd=exgcd(a,b,x,y); ) x+=(b/gcd); printf("%d",x); ; }
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