[ NOIP 2009 ] TG

\(\\\)

\(\#A\) \(Spy\)

给出两个长度均为\(N\)相同的样例串，建立第一个串各个字符向第二个串对应位置字符的映射，并用映射转换给出的长度为\(M\)第三个串，输入保证只有大写字符。

若出现\(26\)个大写字符未建立完整，映射一些字符映射所得字符相同或同一个字符建立多个映射，则视为不合法，输出\(“failed”\)。否则，输出转换后的串。

\(N,M\in [1,100]\)

字符串处理题，开三个数组分别记录两个样例串每个字符是否出现，以即映射。
在建立映射时，判断已有映射与先前建立的映射是否相同、新建映射所得字符是否被作为映射答案出现过。

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define N 30

#define M 110

#define R register

using namespace std;

bool v1[N],v2[N];

int to[N],now[M],p;

int main(){

  char c=getchar();

  while(!isupper(c)) c=getchar();

  while(isupper(c)){

    now[++now[0]]=c-'A'+1;

    v1[c-'A'+1]=1; c=getchar();

  }

  for(R int i=1;i<=26;++i) if(!v1[i]){puts("Failed");return 0;}

  while(!isupper(c)) c=getchar();

  while(isupper(c)){

    int x=now[++p];

    if(to[x]){if('A'+to[x]-1!=c){puts("Failed");return 0;}}

    else if(v2[c-'A'+1]){puts("Failed");return 0;}

    else to[x]=c-'A'+1;

    v2[c-'A'+1]=1; c=getchar();

  }

  while(!isupper(c)) c=getchar();

  while(isupper(c)){

    putchar((char)'A'+to[c-'A'+1]-1);

    c=getchar();

  }

  return 0;

}

\(\\\)

\(\#B\) \(Son\)

\(N\)组数据，每组给出四个正整数\(a_0,a_1,b_0,b_1\)，求满足\(gcd(x,a_0)=a_1,lcm[x,b_0]=b_1\)的\(x\)的个数。

\(N\in [1,200]\)，\(a_0,a_1,b_0,b_1\in [1,2\times 10^9]\)

由 \(gcd(x,a_0)=a_1\) 得 \(gcd(\frac{x}{a_1},\frac{a_0}{a_1})=1\)
由 \(lcm[x,b_0]=b_1\) 得 \(gcd(x,b_0)=\frac{x\times b_0}{b_1}\)，有 \(gcd(\frac{x}{gcd(x,b_0)},\frac{b_0}{gcd(x,b_0)})=gcd(\frac{b_1}{b_0},\frac{b_1}{x})=1\)
由上知合法的\(x\)一定是\(a_1\)的倍数，一定是\(b_1\)的因数，所以得到一个做法，试除法\(\Theta(\sqrt b_1)\)求\(b_1\)因数，判断是否为\(a_1\)因数，再进一步判断推出的两个条件是否成立，总复杂度\(\Theta(N\sqrt {2\times10^9}log(2\times10^9))\approx\Theta(8\times 10^7)\)

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define R register

#define gc getchar

using namespace std;

inline int rd(){

	int x=0; char c=gc();

	while(!isdigit(c)) c=gc();

	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}

	return x;

}

inline int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}

inline void work(){

	int a0=rd(),a1=rd(),b0=rd(),b1=rd();

  int ans=0,lim=sqrt(b1); a0/=a1; b0=b1/b0;

	for(R int x=1;x<=lim;++x)

		if(!(b1%x)){

			if(!(x%a1)&&gcd(x/a1,a0)==1&&gcd(b1/x,b0)==1)++ans;

			if(x*x==b1)continue;

			int k=b1/x;

			if(!(k%a1)&&gcd(k/a1,a0)==1&&gcd(b1/k,b0)==1)++ans;

		}

	printf("%d\n",ans);

}

int main(){

	int t=rd();

	while(t--)work();

	return 0;

}

\(\\\)

\(\#C\) \(Trade\)

给出一个\(N\)个节点\(M\)条边的图，边有向边和无向边两种，每个点有点权\(V_i\)。

求出一条从\(1\)号节点到\(N\)号节点的路径，使得在路径上有两个点\(u,v\)，保证\(u\)在\(v\)之前出现，且\(V_v-V_u\)的值最大，输出该值即可。

\(N\in [1,10^5]\)，\(M\in [1,5\times 10^5]\)，\(V_i\in [1,100]\)

最短路：

考虑无向边拆成两条有向边，跑一个以\(1\)为源的单源最短路，统计从\(1\)号节点到该节点路径上最小点权，更新变成\(dismin[v]=min(dismin[u],V_v)\)，该值代表若选择从\(1\)号节点到这个节点的路径，选这个点作为\(u\)点。
然后就是统计从这个点到\(n\)号节点路径上最大点权，代表选这个点作为\(u\)点，统计方式可以考虑建一个反图，跑以\(n\)为源的单元最短路，统计从\(n\)号节点到该节点路径上的最大点权，也就是原图中从该节点到\(n\)号节点的最大点权，更新变成\(dismax[v]=max(dismax[u],V_v)\)。
对每个点用\(dismax[i]-dismin[i]\)更新答案即可。

注意到题目所给图较稀疏，\(SPFA\)运行效率比堆优化\(Dijkstra\)实测更优秀一些。

\(SPFA\)版本

#include<cmath>

#include<queue>

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define N 100010

#define M 1000010

#define R register

#define gc getchar

using namespace std;

inline int rd(){

  int x=0; bool f=0; char c=gc();

  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}

  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}

  return f?-x:x;

}

int hd1[N],hd2[N],tot1,tot2;

struct edge{int to,nxt;}e1[M],e2[M];

inline void add1(int u,int v){

  e1[++tot1].to=v; e1[tot1].nxt=hd1[u]; hd1[u]=tot1;

}

inline void add2(int u,int v){

  e2[++tot2].to=v; e2[tot2].nxt=hd2[u]; hd2[u]=tot2;

}

bool vis1[N],vis2[N];

int n,m,ans,mn[N],mx[N],val[N];

queue<int> q1,q2;

inline void SPFA1(){

    memset(mn,0x3f,sizeof(mn));

    mn[1]=val[1]; q1.push(1);

    while(!q1.empty()){

      int u=q1.front(); q1.pop(); vis1[u]=0;

      for(R int i=hd1[u],v;i;i=e1[i].nxt)

        if(mn[v=e1[i].to]>min(val[v],mn[u])){

            mn[v]=min(val[v],mn[u]);

            if(!vis1[v]) q1.push(v); vis1[v]=1;

        }

    }

}

inline void SPFA2(){

    mx[n]=val[n]; q2.push(n);

    while(!q2.empty()){

      int u=q2.front(); q2.pop(); vis2[u]=0;

      for(R int i=hd2[u],v;i;i=e2[i].nxt)

        if(mx[v=e2[i].to]<max(val[v],mx[u])){

            mx[v]=max(val[v],mx[u]);

            if(!vis2[v]) q2.push(v); vis2[v]=1;

        }

    }

}

int main(){

  n=rd(); m=rd();

  for(R int i=1;i<=n;++i) val[i]=rd();

  for(R int i=1,u,v,w;i<=m;++i){

    u=rd(); v=rd(); w=rd();

    add1(u,v); add2(v,u);

    if(w==2){add1(v,u); add2(u,v);}

  }

  SPFA1(); SPFA2();

  for(R int i=1;i<=n;++i) ans=max(ans,mx[i]-mn[i]);

  printf("%d\n",ans);

  return 0;

}

\(Dijkstra\)版本

#include<cmath>

#include<queue>

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define N 100010

#define M 1000010

#define R register

#define gc getchar

using namespace std;

inline int rd(){

  int x=0; bool f=0; char c=gc();

  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}

  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}

  return f?-x:x;

}

int hd1[N],hd2[N],tot1,tot2;

struct edge{int to,nxt;}e1[M],e2[M];

inline void add1(int u,int v){

  e1[++tot1].to=v; e1[tot1].nxt=hd1[u]; hd1[u]=tot1;

}

inline void add2(int u,int v){

  e2[++tot2].to=v; e2[tot2].nxt=hd2[u]; hd2[u]=tot2;

}

bool vis1[N],vis2[N];

int n,m,ans,mn[N],mx[N],val[N];

priority_queue<pair<int,int> > q1,q2;

inline void dij1(){

    memset(mn,0x3f,sizeof(mn));

    mn[1]=val[1];

    q1.push(make_pair(-val[1],1));

    while(!q1.empty()){

      int u=q1.top().second; q1.pop();

      if(vis1[u]) continue; vis1[u]=1;

      for(R int i=hd1[u],v;i;i=e1[i].nxt)

        if(mn[v=e1[i].to]>min(val[v],mn[u])){

          mn[v]=min(val[v],mn[u]);

          q1.push(make_pair(-mn[v],v));

        }

    }

}

inline void dij2(){

    mx[n]=val[n];

    q2.push(make_pair(val[n],n));

    while(!q2.empty()){

      int u=q2.top().second; q2.pop();

      if(vis2[u]) continue; vis2[u]=1;

      for(R int i=hd2[u],v;i;i=e2[i].nxt)

        if(mx[v=e2[i].to]<max(val[v],mx[u])){

          mx[v]=max(val[v],mx[u]);

          q2.push(make_pair(mx[v],v));

        }

    }

}

int main(){

  n=rd(); m=rd();

  for(R int i=1;i<=n;++i) val[i]=rd();

  for(R int i=1,u,v,w;i<=m;++i){

    u=rd(); v=rd(); w=rd();

    add1(u,v); add2(v,u);

    if(w==2){add1(v,u); add2(u,v);}

  }

  dij1(); dij2();

  for(R int i=1;i<=n;++i) ans=max(ans,mx[i]-mn[i]);

  printf("%d\n",ans);

  return 0;

}

\(Tarjan+DFS\)：

同样无向边拆成两条有向边，\(Tarjan\)找\(SCC\)缩点，记录每个\(SCC\)内最大点权和最小点权，因为\(SCC\)内可以一直转圈，所以最大最小点权在这个\(SCC\)内一定可以得到。建新图时注意，若为节省空间使用同一个邻接表，需清空\(head\)数组。
考虑到缩点后一些路径不会经过\(1\)号或\(N\)号节点，所以不能拓扑排序，只能记忆化搜索。记\(f_i\)表示\(i\)号结点到\(N\)号节点的路径上的最大值。为了防止路径不可由\(1\)号节点引出，可以选择只从\(1\)号节点\(DFS\)。防止路径不可到达\(N\)号节点，选择只有到达\(N\)号节点所属\(SCC\)时才更新\(f\)数组，其余时由其他可达点更新当前点。

若\(DFS\)所有可达点之后\(f_i\)不是默认值则证明其可达\(N\)号节点，则可进一步用\(sccmax_{i}\)更新\(f_i\)，并进一步用\(f_i-sccmin_i\)更新答案，代表在这个\(SCC\)买入，在从此开始后续\(SCC\)中最大点卖出。

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define N 100010

#define M 500010

#define R register

#define gc getchar

#define top stk[0]

using namespace std;

bool vis[N];

int n,m,tot,ans,hd[N],val[N],f[N];

int num,cnt,low[N],dfn[N],bl[N],stk[N],mn[N],mx[N];

struct adjlist{int to,nxt;}e[M<<1];

struct Edge{int x,y;}edge[M<<1];

inline void add(int u,int v){

  e[++tot].to=v; e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;

}

inline int rd(){

  int x=0; bool f=0; char c=gc();

  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}

  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}

  return f?-x:x;

}

inline void tarjan(int u){

  stk[++top]=u; vis[u]=1;

  dfn[u]=low[u]=++cnt;

  for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)

    if(!dfn[v=e[i].to]){

      tarjan(v); low[u]=min(low[u],low[v]);

    }

    else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);

  if(dfn[u]==low[u]){

    ++num;

    do{

      bl[stk[top]]=num;

      vis[stk[top]]=0;

      mn[num]=min(mn[num],val[stk[top]]);

      mx[num]=max(mx[num],val[stk[top--]]);

    }while(stk[top+1]!=u);

  }

}

inline bool cmp(Edge a,Edge b){return (a.x==b.x)?(a.y<b.y):a.x<b.x;}

inline void dfs(int u){

  vis[u]=1;

  if(u==bl[n]) f[u]=max(f[u],mx[u]);

  for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt){

    if(!vis[v=e[i].to]) dfs(v);

    f[u]=max(f[u],f[v]);

  }

  if(f[u]) f[u]=max(f[u],mx[u]);

  ans=max(ans,f[u]-mn[u]);

}

int main(){

  n=rd(); m=rd();

  for(R int i=1;i<=n;++i) val[i]=rd();

  for(R int i=1,u,v;i<=m;++i){

    u=rd(); v=rd();

    add(u,v); if(rd()==2) add(v,u);

  }

  memset(mn,0x3f,sizeof(mn)); tarjan(1);

  int tmp=0; tot=0;

  for(R int i=1;i<=n;++i)

    for(R int j=hd[i],v;j;j=e[j].nxt)

      if(bl[i]!=bl[v=e[j].to]){edge[++tmp].x=bl[i];edge[tmp].y=bl[v];}

  sort(edge+1,edge+1+tmp,cmp);

  memset(hd,0,sizeof(hd));

  for(R int i=1;i<=tmp;++i)

    if(edge[i].x!=edge[i-1].x||edge[i].y!=edge[i-1].y) add(edge[i].x,edge[i].y);

  dfs(bl[1]);

  printf("%d\n",ans);

  return 0;

}

\(\\\)

\(\#D\) \(Sudoku\)

给出一个未完成的九宫数独，并定义每一个位置的权值：

求保证填数合法的前提下，完成这个数独所能得到的权值和最大是多少。

数据保证已填入的数不少于\(24\)个。

\(DFS:\)

扫描一遍整个数独，记录下所有待填数的位置，同时记录该位置可能填入的数字，按顺序搜索到合法解即可。
一个看起来正确的优化是按照可能填入的数字个数排序，或按照所在行\(/\)列\(/\)宫剩余位置个数排序，这样在搜索的时候能够使搜索树上的较低层节点数尽可能地优秀。
实测不开\(\text O 2\)最好的状态下只会超时\(1\)个点。

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define R register

#define gc getchar

using namespace std;

inline int rd(){

  int x=0; bool f=0; char c=gc();

  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}

  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}

  return f?-x:x;

}

bool h[10][10],l[10][10],g[10][10];

int num[10][10],bl[10][10];

int ans=-1,numh[10],numl[10],numg[10];

int tot,val[10][10]={

{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},

{0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},

{0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},

{0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},

{0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},

{0,6,7,8,9,10,9,8,7,6},

{0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},

{0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},

{0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},

{0,6,6,6,6,6,6,6,6,6}};

struct points{int x,y,w;}p[90];

inline void add(int x,int y){

  p[++tot].x=x; p[tot].y=y; p[tot].w=0;

  for(R int i=1;i<=9;++i){

      if(h[x][i]||l[y][i]||g[bl[x][y]][i])continue;

      else ++p[tot].w;

  }

}

inline bool cmp(points x,points y){

  if(numl[x.y]!=numl[y.y]) return numl[x.y]<numl[y.y];

  else if(numh[x.x]!=numh[y.x]) return numh[x.x]<numh[y.x];

  else if(g[bl[x.x][x.y]]!=g[bl[y.x][y.y]]) return g[bl[x.x][x.y]]<g[bl[y.x][y.y]];

  else return x.w<y.w;

}

inline int calc(){

    int res=0;

    for(R int i=1;i<=9;++i)

      for(R int j=1;j<=9;++j)

        res+=val[i][j]*num[i][j];

    return res;

}

inline void dfs(int t,int sum){

  if(t==tot+1){ans=max(ans,sum);return;}

  int x=p[t].x,y=p[t].y;

  for(R int i=1;i<=9;++i){

    if(h[x][i]||l[y][i]||g[bl[x][y]][i]) continue;

    else{

      h[x][i]=l[y][i]=g[bl[x][y]][i]=1;

      dfs(t+1,sum+i*val[x][y]);

      h[x][i]=l[y][i]=g[bl[x][y]][i]=0;

    }

  }

}

int main(){

  for(R int i=1;i<=9;++i)

      for(R int j=1;j<=9;++j){

        h[i][num[i][j]=rd()]=1;

        if(num[i][j]==0) ++numh[i];

      }

  for(R int j=1;j<=9;++j)

      for(R int i=1;i<=9;++i){

        l[j][num[i][j]]=1;

        if(num[i][j]==0) ++numl[j];

      }

  for(R int i=1;i<=7;i+=3){

    for(R int j=1;j<=3;++j)

        for(R int k=i;k<=i+2;++k){

          g[i][num[j][k]]=1;bl[j][k]=i;

          if(num[j][k]==0) ++numg[i];

        }

    for(R int j=4;j<=6;++j)

        for(R int k=i;k<=i+2;++k){

          g[i+1][num[j][k]]=1;bl[j][k]=i+1;

          if(num[j][k]==0) ++numg[i+1];

        }

    for(R int j=7;j<=9;++j)

        for(R int k=i;k<=i+2;++k){

            g[i+2][num[j][k]]=1;bl[j][k]=i+2;

            if(num[j][k]==0) ++numg[i+2];

        }

  }

  int tmp=0;

  for(R int i=1;i<=9;++i)

    for(R int j=1;j<=9;++j)

      if(!num[i][j]) add(i,j);

      else tmp+=val[i][j]*num[i][j];

  sort(p+1,p+1+tot,cmp);

  dfs(1,tmp);

  printf("%d\n",ans);

  return 0;

}

\(Dancing\ Links\ X:\)

基本的数独转精确覆盖问题及\(Dancing\ Links\ X\)解法可以参考：\(Dancing\ Links\ X\)
与基本的数独做法相同，但在找到答案之后不直接\(return\)，而要搜完所有的状态。
在计算过程中\(dance\)函数可以传一个当前权值和的参数，因为每一行只代表一个位置的一个方案，所以具体的实现过程可以对每一行先绑定权值，然后选择行的时候答案就可以直接累加了。

#include<cmath>

#include<vector>

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define N 750

#define M 350

#define S 247500

#define R register

#define gc getchar

using namespace std;

inline int rd(){

  int x=0; bool f=0; char c=gc();

  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}

  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}

  return f?-x:x;

}

inline int calc(int x,int y,int k){return x*81+y*9+k+1;}

inline void restore(int ans,int &x,int &y,int &k){

  k=(--ans)%9; ans/=9; y=ans%9; x=(ans/9)%9;

}

vector<int> res;

int t,n,m,maxr=729,maxc=324,num[10][10];

const int score[9][9]={

  {6,6,6,6,6,6,6,6,6},

  {6,7,7,7,7,7,7,7,6},

  {6,7,8,8,8,8,8,7,6},

  {6,7,8,9,9,9,8,7,6},

  {6,7,8,9,10,9,8,7,6},

  {6,7,8,9,9,9,8,7,6},

  {6,7,8,8,8,8,8,7,6},

  {6,7,7,7,7,7,7,7,6},

  {6,6,6,6,6,6,6,6,6}

};

struct dlx{

  int n,m,tot,ans=-1,s[M],h[N];

    int u[S],d[S],l[S],r[S],row[S],col[S];

  inline void reset(int _n,int _m){

    n=_n; m=_m;

    for(R int i=0;i<=m;++i){l[i]=i-1; r[i]=i+1; u[i]=d[i]=i;}

    l[0]=m; r[m]=0; tot=m;

    memset(s,0,sizeof(s));

    memset(h,-1,sizeof(h));

  }

  inline void insert(int x,int y,int k){

    row[++tot]=k; col[tot]=y; ++s[y];

    u[tot]=u[y]; d[tot]=y;

    d[u[tot]]=tot; u[d[tot]]=tot;

    if(h[x]==-1){h[x]=tot; l[tot]=tot; r[tot]=tot;}

    else{

      l[tot]=l[h[x]]; r[tot]=h[x];

      r[l[tot]]=tot; l[r[tot]]=tot;

    }

  }

  inline void remove(int y){

    r[l[y]]=r[y]; l[r[y]]=l[y];

    for(R int i=d[y];i!=y;i=d[i])

      for(R int j=r[i];j!=i;j=r[j]){

        u[d[j]]=u[j]; d[u[j]]=d[j]; --s[col[j]];

      }

  }

  inline void restore(int y){

    for(R int i=d[y];i!=y;i=d[i])

      for(R int j=r[i];j!=i;j=r[j]){

        u[d[j]]=j; d[u[j]]=j; ++s[col[j]];

      }

    r[l[y]]=y; l[r[y]]=y;

  }

  inline void dance(int sum){

    if(r[0]==0){ans=max(ans,sum);return;}

    int y=r[0];

    for(R int i=r[0];i!=0;i=r[i]) if(s[i]<s[y]) y=i;

    remove(y);

    for(R int i=d[y];i!=y;i=d[i]){

      for(R int j=r[i];j!=i;j=r[j]) remove(col[j]);

      dance(sum+row[i]);

      for(R int j=l[i];j!=i;j=l[j]) restore(col[j]);

    }

    restore(y); return;

  }

}dlx;

int main(){

  dlx.reset(maxr,maxc);

  for(R int i=0;i<=8;++i)

    for(R int j=0;j<=8;++j) num[i][j]=rd();

  for(R int i=0;i<=8;++i)

    for(R int j=0;j<=8;++j)

      for(R int k=0;k<=8;++k)

        if(num[i][j]==0||num[i][j]==k+1){

          int x=calc(i,j,k);

          dlx.insert(x,calc(0,i,j),score[i][j]*(k+1));

          dlx.insert(x,calc(1,i,k),score[i][j]*(k+1));

          dlx.insert(x,calc(2,j,k),score[i][j]*(k+1));

          dlx.insert(x,calc(3,(i/3)*3+j/3,k),score[i][j]*(k+1));

        }

  dlx.dance(0);

  printf("%d\n",dlx.ans);

  return 0;

}

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