【BZOJ4176】 Lucas的数论

Description

去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。

在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。

求如下表达式的值：

 

其中 表示ij的约数个数。

他发现答案有点大，只需要输出模1000000007的值。

Input

第一行一个整数n。

Output

一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。

Sample Input

2

Sample Output

8

HINT

对于100%的数据n <= 10^9。

Solution

因为直接用编辑器打公式比较麻烦且丑，就用markdown截图完传图片了= =b。

Code

 #include <cstdio>
 #include <cmath>

 #define R register
 const int mod = 1e9 + ;
 #define maxn 1500010
 int miu[maxn], smiu[maxn], pr[maxn / ], prcnt, lim, N;
 bool vis[maxn];
 int hash[maxn];
 bool vihash[];
 int Miu(R int n)
 {
     if (n <= lim) return smiu[n];
     if (vihash[N / n]) return hash[N / n];

     vihash[N / n] = ;
     R int ret = ;
     for (R int i = , j; i <= n; i = j + )
     {
         j = n / (n / i);
         (ret += mod - 1ll * (j - i + ) * Miu(n / i) % mod) %= mod;
     }
     return hash[N / n] = ret;
 }
 inline int sumf(R int n)
 {
     R int ret = ;
     for (R int i = , j; i <= n; i = j + )
     {
         j = n / (n / i);
         ret = (ret + 1ll * (j - i + ) * (n / i)) % mod;
     }
     return ret;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d", &N);
     lim = (int) pow(N * 1.0, 0.666);
 //    printf("%d\n", lim);
     miu[] = smiu[] = ;
     for (R int i = ; i <= lim; ++i)
     {
         if (!vis[i]) pr[++prcnt] = i, miu[i] = -;
         smiu[i] = (smiu[i - ] + miu[i]) % mod;
         for (R int j = ; j <= prcnt && 1ll * i * pr[j] <= lim; ++j)
         {
             vis[i * pr[j]] = ;
             if (i % pr[j]) miu[i * pr[j]] = -miu[i];
             else
             {
                 miu[i * pr[j]] = ;
                 break;
             }
         }
     }
     R int ans = , last = ;
     for (R int i = , j; i <= N; i = j + )
     {
         j = N / (N / i);
         R int Ph = Miu(j);
         R int fs = sumf(N / i);
 //        printf("l = %d r = %d %d %d\n", i, j, Ph, fs);
         ans = (ans + 1ll * (Ph - last + mod) * fs % mod * fs) % mod;
         last = Ph;
     }
 //    printf("%d\n", last);
     printf("%d\n", ans % mod);
     return ;
 }