[NOIP普及组2001]最大公约数和最小公倍数问题

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题目名称：最大公约数和最小公倍数问题

来源：2001年NOIP普及组

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题目内容

题目描述

输入二个正整数\(x_0,y_0(2\leq x_0\leq100000，2\leq y_0\leq1000000)\)，求出满足下列条件的\(P、Q\)的个数。

条件:

1. \(P、Q\)是正整数
2. 要求\(P、Q\)以\(x_0\)为最大公约数，以\(y_0\)为最小公倍数。

试求，满足条件的所有可能的两个正整数的个数。

格式

输入

\(2\)个正整数\(x_0\),\(y_0\)

输出

\(1\)个数，表示求出满足条件的\(P\),\(Q\)的个数

数据

样例

输入

3 60

输出

4

说明

\(P,Q\)有\(4\)种

1. \(3,60\)
2. \(15,12\)
3. \(12,15\)
4. \(60,3\)

数据范围

\(2\leq x_0\leq100000，2\leq y_0\leq1000000\)

题解

约定\(D=min(x_0,y_0),M=max(x_0,y_0)\)

情况1：

\(M \mod D\neq0\)

显然，无解。

情况2：

\(M \mod D=0\)

推一波

\[\because (P,Q)=D,[P,Q]=M\\
\therefore P\times Q=(P,Q)[P,Q]=D\times M\\
p=P\div D,q=Q\div D,prod=D\div M\\
\therefore p\times q=prod\&(p,q)=1\\
\]

当然，暴力枚举\(p\)就可以通过此题，时间复杂度\(O(\sqrt{prod}\times \log(\sqrt{prod}))\)。

但是这次笔者要将一个更优的解法。

由推出来的式子可得，我们就要求有多少对\(prod\)的因数互质。

现将\(prod\)分解质因子得到\(prod\)有\(n\)种质因子。

对于质因子\(d\)，要么只是\(p\)的质因子，要么只是\(q\)的质因子（如果\(p\)和\(q\)同时拥有这个质因子\(d\)，那么\((p,q)\neq 1\)），并且\(d\)至少要是其中一个的因数（否则\(p\times q\neq prod\)）。

所以说其中每种质因子都有两种可能，则答案是\(2^n\)。

时间复杂度\(O(玄学)\)，（最坏\(O(\sqrt{prod})\)，最好\(O(\log(prod))\)）

//C++
#include<bits/locale_facets.h>
#include<stdio.h>
#define forto(name,i,d,u) for(name i=d;i<=u;i++)
inline void output(long long o);
inline long long input();
int main()
{
	short numeral=0;
	int x=input(),y=input();
	if(y%x)return putchar('0'),0;
	y/=x;
	forto(int,i,2,y/i)
	if(!(y%i))
	{
		numeral++;
		while(!(y%i))y/=i;
	}
	if(y>1)numeral++;
	output(1<<numeral);
	return 0;
}
inline void output(long long o)
{
	if(o<0)putchar('-'),o=-o;
	if(o>=10)output(o/10);
	putchar(o%10^'0');
}
inline long long input()
{
	bool minus=false;
	char now=getchar();
	long long i=0;
	for(;!isdigit(now);now=getchar())
	if(now=='-')minus=!minus;
	for(;isdigit(now);now=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+(now^'0');
	return minus?-i:i;
}

//pascal
var
    numeral:1..30;
    x:2..100000;
    i,y:1..1000000;
begin
    readln(x,y);
    if y mod x>0 then
    begin
        write('0');
        halt;
    end;
    y:=y div x;
    i:=2;
    while i<=y div i do
    begin
        if y mod i=0 then
        begin
            inc(numeral);
            while y mod i=0 do y:=y div i;
        end;
        inc(i);
    end;
    if y>1 then inc(numeral);
    write(1 shl numeral);
end.