[HDU2829] Lawrence [四边形不等式优化dp]

题面：

传送门

思路：

依然是一道很明显的区间dp

我们设$dp\left[i\right]\left[j\right]$表示前$j$个节点分成了$i$块的最小花费，$w\left[i\right]\left[j\right]$表示把闭区间$\left[i,j\right]$放在一起产生的价值

那么转移就比较明显了：

$dp\left[i\right]\left[j\right]=min\left(dp\left[i-1\right]\left[k-1\right]+w\left[k\right]\left[j\right]\right)$

$w$可以用前缀和维护以后$O\left(1\right)$计算，因为：

$w\left[i\right]\left[j\right]=\left(\left(\sum_{k=i}^{j}k\right)^2-\sum_{k=i}^{j}k^2\right)\div 2$

这样我们得到了一个复杂度为$O\left(n^2 m\right)$的dp，但是解决这道题还不够

把w函数的表达式展开可以发现，w满足四边形不等式，因此把里层枚举k的那部分优化掉就好了

Code：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define ll long long
 #define inf (1ll<<60ll)
 using namespace std;
 inline ll read(){
     ll re=,flag=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){
         if(ch=='-') flag=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='') re=(re<<)+(re<<)+ch-'',ch=getchar();
     return re*flag;
 }
 ll n,m,a[],sum[],sqr[],s[][],dp[][];
 ll w(ll l,ll r){
     return ((sum[r]-sum[l-])*(sum[r]-sum[l-])-(sqr[r]-sqr[l-]))/2ll;
 }
 int main(){
     ll i,j,k,tmp;
     while((n=read())&&(m=read())){
         m++;
         for(i=;i<=n;i++)
             a[i]=read(),sum[i]=sum[i-]+a[i],sqr[i]=sqr[i-]+a[i]*a[i];
         for(i=;i<=n;i++) dp[][i]=w(,i),s[][i]=;
         for(i=;i<=m;i++){
             s[i][n+]=n;
             for(j=n;j>i;j--){
                 dp[i][j]=inf;
                 for(k=s[i-][j];k<=s[i][j+];k++){
                     if((tmp=dp[i-][k-]+w(k,j))<dp[i][j]){
                         dp[i][j]=tmp;s[i][j]=k;
                     }
                 }
             }
         }
         printf("%lld\n",dp[m][n]);
     }
 }