IEEE754、VAX、IBM浮点型介绍和.NET中互相转换
【题外话】
最近在做C3D文件的解析，好奇怪的是文件中竟然存储了CPU的类型，原本不以为然，结果后来读取一个文件发现浮点数全部读取错误。查了下发现虽然在上世纪80年代就提出了IEEE754要统一浮点数标准，但是到现在仍然有计算机采用不同方式存储浮点数。在某些非IEEE754标准的计算机产生的二进制文件中，如果拿到其他计算机中读取，如果不进行专门的转换，可能导致数据错误等问题。
【文章索引】
【一、IEEE754标准浮点数字的存储详解】
对于x86等常见的CPU，都是采用IEEE754存储和计算浮点型的，当然在.NET平台中浮点型也是IEEE754标准的。首先回顾下本科时学过的计算机组成原理，查了下课本发现是如下介绍IEEE754浮点数的存储的（唐朔飞版课本233页）：
其中，S为数符，它表示浮点数的正负，但与其有效位（尾数）是分开的。阶码用移码表示，阶码的真值都被加上一个常数（偏移量），如短实数、长实数和临时实数的偏移量用十六进制表示分别为7FH、3FFH和3FFFH。尾数部分通常都是规格化表示，即非“0”的有效位最高位总是1。
以单精度浮点数为例，如果字节查看应该是如下这个样子的，数符占第1字节的第1位，阶码占第1字节的后7位及第二字节的第1位，其余都是尾数。
SEF S EEEEEEEE FFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits
bytes byte1 byte2 byte3 byte4
如果设数符为S，阶码为E，尾数的小数部分为F，那么可以通过位运算得到这三位：
Double S = (byte1 & 0x80) >> ;
Double E = ((byte1 & 0x7F) << ) + ((byte2 & 0x80) >> );
Double F = ((byte2 & 0x7F) << ) + (byte3 << ) + byte4;
由于阶码用移码表示，所以真实的阶码则是E - 0x7F。而尾数由于是规格化的表示，即将尾数规范化为(1.FFFFF……FF)2，但只存小数点之后的部分。由于1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ... + 1 / n = 1 - 1 / 2n，所以可知尾数M（M = 1.0 + F）的范围为1 <= M <= 2 - 1 / 223。
所以可通过如下的公式来计算浮点数的值，其中，C是尾数规范化后减去的常量，B是移码的偏移量，可知A、B、C分别为A = 2、B = 0x7F以及C = 1.0。
V = (-)^S * (F + C) * A^(E - B)
可见，浮点数就不存在0的概念了，所以只能用极限小来表示，同时为了表示无穷大，规定E取值范围为0 < E < 0xFF，即-0x7F < (E - B) < 0x80。
所以，当E = 0xFF时，指数最大，规定F = 0时为无穷值，其中又有S = 0为正无穷以及S = 1为负无穷；而F != 0时为无效数字（NaN）。
当E = 0时，指数最小，规定F = 0时为0，其中又有S = 0为正0以及S = 1时为-0。
不过表示非常小的数字，允许当E = 0时非规范化的尾数存在。即当E = 0且F !=0时，V = (-1)^S * F * A^-126。
| 二进制表示 | 十六进制表示 | 含义 | 十进制表示 |
| 0 11111111 00000000000000000000000 | 7F 80 00 00 | 正无穷 | +∞ |
| 1 11111111 00000000000000000000000 | FF 80 00 00 | 负无穷 | -∞ |
| 0 00000000 00000000000000000000000 | 00 00 00 00 | +0 | 0 |
| 1 00000000 00000000000000000000000 | 80 00 00 00 | -0 | 0 |
| 0 00000000 00000000000000000000001 | 00 00 00 01 | 最小正数 | 1.401298E-45 |
| 0 11111110 11111111111111111111111 | 7F 7F FF FF | 最大值 | 3.402823E+38 |
| 1 11111110 11111111111111111111111 | FF 7F FF FF | 最小值 | -3.402823E+38 |
| 0 01111111 00000000000000000000000 | 3F 80 00 00 | +1 | 1 |
而二进制小数转十进制小数的计算可以直接按整数的转换来做，然后除以2n即可，n在这里其实就是尾数的长度，为23。
所以，有了以上的这些信息，我们就可以将浮点数字与字节数组相互转换了（本文假定给定的字节数组都是Litten-Endian）：
Single ToSingle(Byte[] data)
{
Double a = 2.0;
Double b = 127.0;
Double c = 1.0;
Double d = -126.0; Byte byte1 = data[];
Byte byte2 = data[];
Byte byte3 = data[];
Byte byte4 = data[]; Double s = (byte1 & 0x80) >> ;
Double e = ((byte1 & 0x7F) << ) + ((byte2 & 0x80) >> );
Double f = ((byte2 & 0x7F) << ) + (byte3 << ) + byte4;
Double m = f / Math.Pow(, ); if (e == 0xFF && f == ) return (s == ? Single.PositiveInfinity : Single.NegativeInfinity);
if (e == 0xFF && f != ) return Single.NaN;
if (e == 0x00 && f == ) return ;
if (e == 0x00 && f != ) return (Single)((s == ? 1.0 : -1.0) * m * Math.Pow(a, d)); return (Single)((s == ? 1.0 : -1.0) * (c + m) * Math.Pow(a, e - b));
} Byte[] GetBytes(Single num)
{
Double a = 2.0;
Double b = 127.0;
Double c = 1.0;
Double d = Math.Log(); Int32 s = (num >= ? : ); Double v = Math.Abs(num);
Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / d + b); Double m = (v / Math.Pow(a, e - b)) - c;
Int32 f = (Int32)(m * Math.Pow(, )); Byte[] data = new Byte[];
data[] = (Byte)((s << ) + ((e & 0xFE) >> ));
data[] = (Byte)(((e & 0x01) << ) + ((f & 0x007F0000) >> ));
data[] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> );
data[] = (Byte)(f & 0x000000FF); return data;
}
上述的浮点数转字节数组不能支持NaN和非规范化的情况，当然也可以自己判断下。当然了，上边说了这么多还是为了介绍下边两种浮点数做铺垫。如果实现系统浮点数与字节数组转换的话，用上边这种方法转换就不如用System.BitConverter来的方便了。
【二、VAX及IBM浮点数字的存储和转换】
首先还是按字节看下VAX和IBM浮点型的存储：
VAX单精度浮点：
SEF S EEEEEEEE FFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits
bytes byte2 byte3 byte0 byte1
IBM单精度浮点：
SEF S EEEEEEE FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits
bytes byte1 byte2 byte3 byte4
非常有意思的是，VAX存储的结构并不是按顺序存储的，而是采用了一种叫做Middle-Endian的存储方式来存储（并非字节序）：对于四字节而言其顺序就是2301，八字节为23016745，十六字节为23016745AB89EFCD。不过总体来说，VAX浮点型与IEEE754还是很类似的，比如VAX也要进行规范化，但是其规范化为(0.1FFFFF..FF)2，所以上述的C就为0.5，其尾数M的范围即为1/2 <= M <= 1 - 1 / 224；而同时其也并没有规定无穷大，不需要单独为无限大留出最大的阶码，所以上述的B为0x80。
而IBM单精度浮点则与上述两种差别更大。首先其阶码并不是8位，而是7位，由于还是使用移码存储的阶码，所以其减去的不能是127或者128，而是64，所以其与VAX一样，也没有无穷值的表示。除此之外，其也不是以2为底计算阶码的，而是以16为底，并且其没有规范化尾数的要求（当然这也与其以16为底有关），所以不需要对尾数进行加减运算，其范围为1/16 <= M <= 1- 1 / 224。
以下是实现VAX浮点字节数组与系统浮点数字相互转化的类：
using System; namespace DotMaysWind.Numerics
{
/// <summary>
/// VAX单精度浮点数字
/// </summary>
/// <remarks>
/// SEF S EEEEEEEE FFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
/// bits 1 2 9 10 32
/// bytes byte2 byte1 byte4 byte3
/// </remarks>
public struct VAXSingle
{
#region 常量
private const Int32 LENGTH = ;
private const Double BASE = 2.0;
private const Double EXPONENT_BIAS = 128.0;
private const Double MANTISSA_CONSTANT = 0.5;
private const Double E24 = 16777216.0;
#endregion #region 字段
private Byte[] _data;
#endregion #region 构造方法
/// <summary>
/// 初始化新的VAX单精度浮点数字
/// </summary>
/// <param name="data">VAX单精度浮点数字字节数组</param>
/// <param name="startIndex">数据起始位置</param>
public VAXSingle(Byte[] data, Int32 startIndex)
{
this._data = new Byte[VAXSingle.LENGTH];
Array.Copy(data, startIndex, this._data, , VAXSingle.LENGTH);
} /// <summary>
/// 初始化新的VAX单精度浮点数字
/// </summary>
/// <param name="num">系统标准的单精度浮点数字</param>
public VAXSingle(Single num)
{
Int32 s = (num >= ? : ); Double v = Math.Abs(num);
Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / Math.Log(2.0) + 1.0 + VAXSingle.EXPONENT_BIAS); Double m = (v / Math.Pow(VAXSingle.BASE, e - VAXSingle.EXPONENT_BIAS)) - VAXSingle.MANTISSA_CONSTANT;
Int32 f = (Int32)(m * VAXSingle.E24); this._data = new Byte[VAXSingle.LENGTH];
this._data[] = (Byte)((s << ) + ((e & 0xFE) >> ));
this._data[] = (Byte)(((e & 0x01) << ) + ((f & 0x007F0000) >> ));
this._data[] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> );
this._data[] = (Byte)(f & 0x000000FF);
}
#endregion #region 方法
/// <summary>
/// 获取系统标准的单精度浮点数字
/// </summary>
/// <returns>系统标准的单精度浮点数字</returns>
public Single ToSingle()
{
Byte b1 = this._data[];
Byte b2 = this._data[];
Byte b3 = this._data[];
Byte b4 = this._data[]; Double s = (b1 & 0x80) >> ;
Double e = ((b1 & 0x7F) << ) + ((b2 & 0x80) >> );
Double f = ((b2 & 0x7F) << ) + (b3 << ) + b4;
Double m = f / VAXSingle.E24; if (e == && s == ) return ;
if (e == && s == ) return Single.NaN; return (Single)((s == ? 1.0 : -1.0) * (VAXSingle.MANTISSA_CONSTANT + m) * Math.Pow(VAXSingle.BASE, e - VAXSingle.EXPONENT_BIAS));
} /// <summary>
/// 获取VAX单精度浮点数据字节数组
/// </summary>
/// <returns>字节数组</returns>
public Byte[] ToArray()
{
Byte[] data = new Byte[VAXSingle.LENGTH]; Array.Copy(this._data, data, VAXSingle.LENGTH); return data;
}
#endregion
}
}
以下是实现IBM浮点字节数组与系统浮点数字相互转化的类：
using System; namespace DotMaysWind.Numerics
{
/// <summary>
/// IBM单精度浮点数字
/// </summary>
/// <remarks>
/// SEF S EEEEEEE FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
/// bits 1 2 8 9 32
/// bytes byte1 byte2 byte3 byte4
/// </remarks>
public struct IBMSingle
{
#region 常量
private const Int32 LENGTH = ;
private const Double BASE = 16.0;
private const Double EXPONENT_BIAS = 64.0;
private const Double E24 = 16777216.0;
#endregion #region 字段
private Byte[] _data;
#endregion #region 构造方法
/// <summary>
/// 初始化新的IBM单精度浮点数字
/// </summary>
/// <param name="data">IBM单精度浮点数字字节数组</param>
/// <param name="startIndex">数据起始位置</param>
public IBMSingle(Byte[] data, Int32 startIndex)
{
this._data = new Byte[IBMSingle.LENGTH];
Array.Copy(data, startIndex, this._data, , IBMSingle.LENGTH);
} /// <summary>
/// 初始化新的IBM单精度浮点数字
/// </summary>
/// <param name="num">系统标准的单精度浮点数字</param>
public IBMSingle(Single num)
{
Int32 s = (num >= ? : ); Double v = Math.Abs(num);
Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / Math.Log(2.0) / 4.0 + 1.0 + IBMSingle.EXPONENT_BIAS); Double m = (v / Math.Pow(IBMSingle.BASE, e - IBMSingle.EXPONENT_BIAS));
Int32 f = (Int32)(m * IBMSingle.E24); this._data = new Byte[IBMSingle.LENGTH];
this._data[] = (Byte)(s + e);
this._data[] = (Byte)((f & 0x00FF0000) >> );
this._data[] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> );
this._data[] = (Byte)(f & 0x000000FF);
}
#endregion #region 方法
/// <summary>
/// 获取系统标准的单精度浮点数字
/// </summary>
/// <returns>系统标准的单精度浮点数字</returns>
public Single ToSingle()
{
Byte b1 = this._data[];
Byte b2 = this._data[];
Byte b3 = this._data[];
Byte b4 = this._data[]; Double s = (b1 & 0x80) >> ;
Double e = (b1 & 0x7F);
Double f = (b2 << ) + (b3 << ) + b4;
Double m = f / IBMSingle.E24; if (e == && f == && s == ) return ; return (Single)((s == ? 1.0 : -1.0) * m * Math.Pow(IBMSingle.BASE, e - IBMSingle.EXPONENT_BIAS));
} /// <summary>
/// 获取IBM单精度浮点数据字节数组
/// </summary>
/// <returns>字节数组</returns>
public Byte[] ToArray()
{
Byte[] data = new Byte[IBMSingle.LENGTH]; Array.Copy(this._data, data, IBMSingle.LENGTH); return data;
}
#endregion
}
}
【三、双精度浮点数的处理】
双精度浮点数与单精度浮点数类似，只不过会扩大阶码和尾数的范围罢了。对于IEEE754的双精度浮点而言，不仅尾数的位数增加，还会增加阶码的尾数，字节存储如下：
SEF S EEEEEEE EEEE FFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits
bytes byte1 byte2 byte3 byte4 byte5 byte6 byte7 byte8
可见，其阶码增加了3位，即最大值是原来翻了3翻，为1024。而为了保证能表示无穷值，所以B为1023。除此之外只需要多读取后边增加的尾数即可，步骤与单精度基本相同。
而对于VAX和IBM的双精度浮点，更是没有扩大阶码的范围，而只是扩大了尾数的范围，使得只要多读取增加的4位尾数即可，而常数A、B、C更是无需修改。两者字节存储如下：
VAX双精度浮点：
SEF S EEEEEEEE FFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits
bytes byte2 byte3 byte0 byte1 byte6 byte7 byte4 byte5
IBM双精度浮点：
SEF S EEEEEEE FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits
bytes byte1 byte2 byte3 byte4 byte5 byte6 byte7 byte8
【相关链接】
- Transform between IEEE, IBM or VAX floating point number formats and bytes expressions：http://www.codeproject.com/Articles/12363/Transform-between-IEEE-IBM-or-VAX-floating-point-n
- VAX F_FLOAT and D_FLOAT to IEEE T_FLOAT and S_FLOAT (double)：http://yaadc.blogspot.com/2013/01/vax-ffloat-and-dfloat-to-ieee-tfloat.html
- IEEE Arithmetic：http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_math.html
- Floating-Point：http://andromeda.rutgers.edu/~dupre/231/lecture13.doc
- IBM Floating Point Architecture：http://en.wikipedia.org/wiki/IBM_Floating_Point_Architecture
- VAX floating point to Decimal：http://arstechnica.com/civis/viewtopic.php?f=20&t=171682
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