USACO 4.1.1 麦香牛块 Beef McNuggets
题目大意
给你\(n\)个数\(a_1, a_2 ... a_n\), 要你求最大的正整数\(m\)使得方程\(a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = m\)无非负整数解. 题目数据满足\(a_x\)为正整数且不大于\(256\), \(n \le 10\).
Solution
先看一个定理: 对于正整数\(p\), \(q\)满足\(gcd(p, q) = 1\), 我们有\(px + qy = n\)无非负整数解的最大正整数\(n\)为\(pq - p - q\). 证明如下:
我们首先利用反证法, 证明\(px + qy \ne pq - p - q\): 我们假设存在正整数\(x\)和\(y\)使得\(px + qy = pq - p - q\), 则有
p(x + 1) + q(y + 1) = pq \\
\because gcd(p, q) = 1且p | q(y + 1) \\
\therefore p | y + 1 \\
同理, q | x + 1
\]
接着我们令\(y + 1 = pj\), \(x + 1 = qk\). 则有
pq(j + k) = pq
\]
注意到\(x, y \ge 0\), 我们有\(y + 1 \ge 1\)且\(x + 1 \ge 1\), 因而\(j \ge 1\)且\(k \ge 1\). 因而\(j + k \ge 2\), 因而假设不成立.
得证.
再证明当\(n \ge pq - p - q + 1\)时原方程总有非负整数解:
我们令\(n = pq - p - q + k\), 则根据扩展欧几里得定理, 方程\(pa + qb = k\)有整数解(其中\(a\)和\(b\)中必有一个为正, 一个为负). 我们假设\(a < 0 < b\), 调整\(a\)和\(b\)的值使得\(|a| < q\). 令此时的\(a\)和\(b\)分别为\(A\)和\(B\).
回到原方程
px + qy = pq - p - q + Ax + By \\
p(x + 1 - A) + q(y + 1 - B) = pq
\]
根据前面的结论, 我们又有
q | x + 1 - A
\]
因此我们令
k = \frac{y + 1 - B} p
\]
则有
i + j = 1
\]
不妨设\(i = 0\)且\(j = 1\), 则
y + 1 - B= 0 \\
x + 1 - A = q
\end{cases}
\]
因而
x = A + q - 1
\]
由于\(B > 0\), 因而\(B - 1 \ge 0\);
根据之前定义, 我们又有\(|A| < q\), 因而\(A + q - 1 \ge 0\)
因而原方程必有非负整数解.
好了, 现在考虑这道题怎么做233
注意到\(a\)值较小, 我们直接从0开始到\(256^2\)背包暴力即可.
我们注意到\(a\)之间并不一定互质, 但这并不影响我们枚举的范围.
#include <cstdio>
#include <cctype>
const int N = 10, LIM = 256;
int a[N], f[LIM * LIM << 2];
int main()
{
int n; scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; ++ i) scanf("%d", a + i);
f[0] = 1;
for(int i = 1; i < LIM * LIM << 2; ++ i) for(int j = 0; j < n; ++ j) if(i - a[j] >= 0 && f[i - a[j]]) f[i] = 1;
int ans = 0;
for(int i = 1; i < LIM * LIM << 2; ++ i) if(! f[i]) ans = i;
printf("%d\n", ans > LIM * LIM ? 0 : ans);
}
USACO 4.1.1 麦香牛块 Beef McNuggets的更多相关文章
- 洛谷P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets
P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets 13通过 21提交 题目提供者该用户不存在 标签USACO 难度普及+/提高 提交 讨论 题解 最新讨论 暂时没有讨论 题目描 ...
- 洛谷 P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets Label:一点点数论 && 背包
题目描述 农夫布朗的奶牛们正在进行斗争,因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品:麦香牛块.奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤.奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”.“看,”奶牛们说,“如 ...
- 洛谷——P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2737 题目描述 农夫布朗的奶牛们正在进行斗争,因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品:麦香牛块.奶牛们正在想尽一切办 ...
- [Luogu2737] [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets
题目描述 农夫布朗的奶牛们正在进行斗争,因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品:麦香牛块.奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤.奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”.“看,”奶牛们说,“如 ...
- P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets
题目描述 农夫布朗的奶牛们正在进行斗争,因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品:麦香牛块.奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤.奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”.“看,”奶牛们说,“如 ...
- [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets 题解报告
题目描述 农夫布朗的奶牛们正在进行斗争,因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品:麦香牛块.奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤.奶牛们进行斗争的策略之一是"劣质的包装".& ...
- P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets(完全背包+数论确定上界)
题目链接:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2737 题目大意:农夫布朗的奶牛们正在进行斗争,因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品:麦香牛块.奶牛们正在 ...
- [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets By cellur925
题目描述 农夫布朗的奶牛们正在进行斗争,因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品:麦香牛块.奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤.奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”.“看,”奶牛们说,“如 ...
- [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2737 给出n个数ai,求这n个数不能累加出的最大的数 最大的数无限大或能凑出所有的自然数则输出0 n<=10,a ...
随机推荐
- SparkSQL查询程序的两种方法,及其对比
import包: import org.apache.spark.{SparkConf, SparkContext}import org.apache.spark.rdd.RDDimport org. ...
- js数据类型的检测总结,附面试题--封装一个函数,输入任意,输出他的类型
一.javascript 中有几种类型的值 1.基本数据类型 : 包括 Undefined.Null.Boolean.Number.String.Symbol (ES6 新增,表示独一无二的值) 特点 ...
- Python框架之Django的相册组件
Python框架之Django的相册组件 恩,没错,又是Django,虽然学习笔记已经结贴,但是学习笔记里都是基础的,Django的东西不管怎么说还是很多的,要学习的东西自然不会仅仅用十几篇博文就能学 ...
- Bat windows 批处理 常用命令
设置全屏: To make all bat files fullscreen: reg add HKCU\Console\ /v Fullscreen /t REG_DWORD /d /f To ma ...
- Solr配置Ikanalyzer分词器
上一篇文章讲解在win系统中如何安装solr并创建一个名为test_core的Core,接下为text_core配置Ikanalyzer 分词器 1.打开text_core的instanceDir目录 ...
- 基于 Spring 和 iBATIS 的动态可更新多数据源持久层
前言 我们时常会遇到一些 web 项目,需要从不同的数据源中抓取数据来进行分析,而这些数据源是有可能变化的,需要用户来进行动态的维护和添加.可是,大多数的 web 程序使用了应用服务器或者容器中间件来 ...
- AngularJs 特性 之 双向数据绑定
<!DOCTYPE html> <html lang="en" ng-app> <head> <meta charset="UT ...
- 一道背包神题-Petrozavodsk Winter-2018. Carnegie Mellon U Contest Problem I
题目描述 有\(n\)个物品,每个物品有一个体积\(v_i\),背包容量\(s\).要求选一些物品恰好装满背包且物品个数最少,并在这样的方案中: (1)求出中位数最小的方案的中位数(\(k\)个元素的 ...
- SPOJ COT2 - Count on a tree II(LCA+离散化+树上莫队)
COT2 - Count on a tree II #tree You are given a tree with N nodes. The tree nodes are numbered from ...
- Codeforces Round #316 (Div. 2) C 思路/模拟
C. Replacement time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard inpu ...