定义:

一棵m阶B-树是拥有以下性质的多路查找树:

1、非叶子结点的根结点至少拥有两棵子树;

2、每一个非根且非叶子的结点含有k-1个关键字以及k个子树,其中⌈m/2⌉≤k≤m;

3、每一个叶子结点都具有k-1个关键字,其中⌈m/2⌉≤k≤m;

4、key[i]和key[i+1]之间的孩子节点的值介于key[i]、key[i+1]之间

5、所有的叶子结点都在同一层。

ps: ⌈m/2⌉是向上取整

建立B-树的节点:

template<class K,int M=3>
struct BTreeNode
{
K _key[M]; //关键字 (有效关键字个数为M-1)
BTreeNode<K, M>* _sub[M + 1]; //链接子树的指针数组
size_t _size; //节点中关键字的个数
BTreeNode<K, M>* _parent; //指向父节点的指针 BTreeNode()
:_size(0)
, _parent(NULL)
{
for (size_t i = 0; i < M + 1; i++)
{
_sub[i] = NULL;
}
}
};

插入数据key:

M阶B树--M=3:

用例 {53, 75, 139, 49, 145, 36, 101};

根据上面这些图,依次插入这些数据时的变化一目了然。现在就来看代码:

在插入一个数据前,我们首先要找到你要插入的位置,这里实现一个find函数寻找插入点,辅助插入数据key;

但是这里find函数的返回值该如何处理?bool或int都不行,这两个都不能满足我们的要求。BTreeNode类型也不太合适,找到key就返回该节点无可厚非;但是如果你查找的时候已经遍历到NULL了,说明没有找到数据key,这时候难道返回NULL吗?显然不合适,要插入的位置不能是NULL,这时候应该返回的是当前NULL的父亲结点,也就是我要插入数据的位置了。

那么找到就返回该节点以及该数据所在的关键字数组的下标,未找到就返回-1及父节点,这里我们可以将将它们封装起来,如下:

template<class K,class V>
struct Pair
{
K _first;
V _second; Pair(const K &k = K(), const V& v = V())
:_first(k)
, _second(v)
{}
};

返回值类型确定好的,其它的就好办了:

查找函数思想:

遍历关键字数组_key[],如果key比它小就 ++i 并继续往后遍历
1.如果key=_key[i]则停止遍历,返回该结构体节点
2.如果key比它大则停止遍历,此时的子树_sub[i]指向的关键字数组的所有数据都是介于_key[i-1]和_key[i]之间的数据,我们要找的key或许就在其中
3.如果跳出循环则未找到该数据cur=NULL,返回cur的父节点;这时候若是插入key,就插入到parent指向的关键字数组中

        //递归查找key
Pair<BTreeNode<K, M>*, int> Find(const K& key)
{
BTreeNode<K, M>* parent=NULL;
BTreeNode<K, M>* cur=_root; while (cur!=NULL)
{
size_t i = 0;
while (i < cur->_size&&cur->_key[i] < key)
++i;
if (cur->_key[i] == key)
return Pair<BTreeNode<K, M>*, int>(cur, i);
// key<_key[i] 则走向与key[i]下标相同的子树
parent = cur;
cur = cur->_sub[i];
}
return Pair<BTreeNode<K, M>*, int>(parent, -1);
}

找到位置后,就可以插入该数据key了

分情况:

1.B-树为NULL

2.B-树中已经存在key

3.B-树中不存在key,先把key以插入排序的方式插入到关键字数组中,判断该关键字数组是否已满,满了就要进行分裂。注意,这里的分裂有时可能不止一次!

//插入数据
bool Insert(K& key)
{
// 1.B-树为空
if (NULL == _root)
{
_root = new BTreeNode<K, M>;
_root->_key[0] = key;
++_root->_size;
return true;
} Pair<BTreeNode<K, M>*, int> ret = Find(key);
// 2.该数据已经存在
if (ret._second != -1)
return false; // 3.插入数据到关键字数组
BTreeNode<K, M>* cur = ret._first;
BTreeNode<K, M>* sub = NULL;
while (1)
{
int i = 0;
for ( i = cur->_size - 1; i >= 0; )
{ // 把大数往后挪,对应子树也要进行挪动
if (cur->_key[i] > key)
{
cur->_key[i + 1] = cur->_key[i];
cur->_sub[i + 2] = cur->_sub[i + 1];
i--;
}
else
{
break;
}
}
cur->_key[i + 1] = key;
cur->_sub[i + 2] = sub;
if (sub!=NULL)
cur->_sub[i+2]->_parent = cur;
cur->_size++; //关键字数组未满,插入成功
if (cur->_size < M)
return true; //关键字数组已满,需要进行分裂
int mid = M / 2;
BTreeNode<K, M>* tmp = new BTreeNode<K, M>;
int index = 0;
size_t k; for ( k = mid + 1; k < cur->_size; k++)
{
tmp->_key[index] = cur->_key[k];
if (cur->_sub[k] != NULL)
{
tmp->_sub[index] = cur->_sub[k];
cur->_sub[k] = NULL;
tmp->_sub[index]->_parent = tmp;
}
tmp->_size++;
cur->_size--;
index++;
}
if (cur->_sub[k] != NULL)
{
tmp->_sub[index] = cur->_sub[k];
cur->_sub[k] = NULL;
tmp->_sub[index]->_parent = tmp;
}
//父节点为空时的链接
if (cur->_parent == NULL)
{
_root = new BTreeNode<K, M>;
_root->_key[0] = cur->_key[mid];
cur->_size--;
_root->_sub[0] = cur;
_root->_sub[1] = tmp;
_root->_size++; //链接
tmp->_parent = _root;
cur->_parent = _root;
return true;
}
//父节点不为空时的链接
key = cur->_key[mid];
cur->_size--;
cur = cur->_parent;
sub = tmp;
}
}

  要看完整代码,可以去我的github查看代码:https://github.com/Lynn-zhang/BTree

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