【Foreign】最大割 [线性基]

最大割

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Description

　　

Input

　　

Output

　　

Sample Input

　　3 6
　　1 2 1
　　1 2 1
　　3 3 111
　　1 3 101101
　　1 2 1011
　　2 3 111011

Sample Output

　　1
　　0
　　0
　　101101
　　101101
　　110000

HINT

　　l = log2(w)

　　

Solution

　　首先我们发现，由于XOR满足消去律，那么我们定义一个新点的点权为该点所有连边的XOR和，那么任意点XOR起来得到的值正是割的值，所以这样操作之后问题就转化为了：任取几个点，求XOR出的最大值，支持点权修改。

　　那么我们现在显然得到了做法：线性基，并且我们需要维护一个可修改的线性基。

　　线性基的加入方法：1.从大到小加入，如果这一位没有匹配元则加入当前值当作匹配元，退出；2.如果这一位有匹配元了就XOR完向后继续执行操作，若值=0则退出。

　　线性基的最值方法：用一个初值为0的Ans串，从大到小贪心，如果这一位有匹配元并且Ans串该位为0则XOR，继续向后。

　　线性基的维护方法：我们另外记录一个record表示这个基是由哪些值XOR出来的，比如我们要消去b，然后我们就用一个 有bXOR出来且主元最小 的基来消去其它含b的基中的b，其中主元定义为最高位的1，我们让最高位的1最小，这样往上消去的时候依然可以满足XOR出来可以满足线性基的条件性质。然后我们扫一遍，如果含有这个b则XOR一下，并且record要XOR那个基的record，这样才可以保证record的记录不漏。

　　这道题就是先删除，然后再加入，每次询问求最值即可。

Code

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<bitset>
 using namespace std;

 const int ONE = ;
 const int L = ;

 int T,n,x,y;
 int PD;
 char s[ONE];
 int Link[ONE];

 bitset <L> record[ONE],A[ONE];
 bitset <L> Ans,P;

 int get()
 {
         int res,Q=;    char c;
         while( (c=getchar())< || c>)
         if(c=='-')Q=-;
         if(Q) res=c-;
         while((c=getchar())>= && c<=)
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }

 void Deal_first()
 {
         scanf("%s",s+);
         int len = strlen(s+);
         P.reset();
         for(int i=;i<=len;i++)
             P[L-len+i] = s[i]-'';
 }

 void Add(int k)
 {
         for(int pos=;pos<=L;pos++)
         if(A[k][pos])
         {
             if(!Link[pos])
             {
                 Link[pos] = k;
                 break;
             }
             else
             {
                 A[k] ^= A[Link[pos]];
                 record[k] ^= record[Link[pos]];
                 if(!A[k].any()) break;
             }
         }
 }

 void Update(int x)
 {
         int k=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         if(record[i][x] && !A[i].any())
         {
             k=i;
             break;
         }

         if(!k)
         {
             for(int i=L;i>=;i--)
             {
                 if(Link[i] && record[Link[i]][x])
                 {
                     k = Link[i];
                     Link[i] = ;
                     break;
                 }
             }
         }

         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(i!=k && record[i][x])
             {
                 A[i] ^= A[k];
                 record[i] ^= record[k];
             }
         }

         A[k] ^= P; Add(k);
 }

 int main()
 {
         n=get();    T=get();
         for(int i=;i<=n;i++) record[i][i] = ;
         while(T--)
         {
             x=get();    y=get();
             Deal_first();
             Update(x);    Update(y);

             Ans.reset(); PD=;
             for(int i=;i<=L;i++)
             {
                 if(Link[i] && !Ans[i]) Ans ^= A[Link[i]];
                 if(Ans[i]) PD=;
                 if(PD) printf("%d",Ans[i]?:);
             }
             if(!PD) printf("");
             printf("\n");
         }
 }