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Solution

由于这里带了小数,直接计算显然会爆掉,我们要想办法去掉小数。

而由于原题给了暗示:b2<=d<=(b+1)2,我们猜测可以利用$(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^{n}$的范围为(-1,1)的性质。

则$ans=((\frac{b+\sqrt{d}}{2})^{n}+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^{n})-(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^{n}$。

易得第一个括号里的式子不包含小数(强行组合数算一下就发现啦)

我们考虑特征方程,

现在定义$a_{n}=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^{n}+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^{n}$

解得$a_{n}=b*a_{n-1}+\frac{(d-b^{2})}{4}*a_{n-2}$

其中,边界a0=2,a1=b。

然后矩阵乘法就好啦。(备注:由于此处两个数相乘会过大,需要用到快速乘法,log(n)的那种)

最后,如果 $(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^{n}\geqslant 0$,则由于题目向下取整,可以忽略;

故只有$b^{2}\neq d$且n为奇数才需要对答案减一。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const ull mod=7528443412579576937ull;
ull b,d,n;
ull mul(ull a,ull b)
{
ull ans=;
while(b)
{
if(b&) ans=(a+ans)%mod;
b>>=;a=(a+a)%mod;
}
return ans;
}
struct Matrix{ull x[][];
friend Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix c;memset(c.x,,sizeof(c.x));
for (int i=;i<=;i++)
for (int j=;j<=;j++)
for (int k=;k<=;k++)
c.x[i][j]=(c.x[i][j]+mul(a.x[i][k],b.x[k][j]))%mod;
return c;
}
}a;
Matrix ksm(Matrix a,ull t)
{
Matrix ans;memset(ans.x,,sizeof(ans.x));
ans.x[][]=ans.x[][]=;
while (t)
{
if (t&) ans=ans*a;
t>>=;
a=a*a;
}
return ans;
}
ull ans;
int main()
{
scanf("%llu%llu%llu",&b,&d,&n);
if (!n) {printf("");return ;}
a.x[][]=b;
a.x[][]=(d-b*b)/%mod;
a.x[][]=;
a.x[][]=;
a=ksm(a,n-);
ans=(mul(b,a.x[][])+mul(,a.x[][]))%mod;
if (d!=b*b&&!(n&)) ans--;
if (ans<) ans+=mod;
cout<<ans;
}

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