组合数取模方法总结(Lucas定理介绍)
1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
2、n和m较大,但是p为素数的时候
Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p,p为素数的值。
C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
也就是Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
求上式的时候,Lucas递归出口为m=0时返回1
求C(n%p, m%p)%p的时候,此处写成C(n, m)%p(p是素数,n和m均小于p)
C(n, m)%p = n! / (m ! * (n - m )!) % p = n! * mod_inverse[m! * (n - m)!, p] % p
由于p是素数,有费马小定理可知,m! * (n - m)! 关于p的逆元就是m! * (n - m)!的p-2次方。
p较小的时候预处理出1-p内所有阶乘%p的值,然后用快速幂求出逆元,就可以求出解。p较大的时候只能逐项求出分母和分子模上p的值,然后通过快速幂求逆元求解。
P较大,不打表:
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
ll ans = ;
a %= m;
while(b)
{
if(b & )ans = (ans % m) * (a % m) % m;
b /= ;
a = (a % m) * (a % m) % m;
}
ans %= m;
return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元,p为素数
{
return pow(x, p - , p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
if(m > n)return ;
ll up = , down = ;//分子分母;
for(int i = n - m + ; i <= n; i++)up = up * i % p;
for(int i = ; i <= m; i++)down = down * i % p;
return up * inv(down, p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
if(m == )return ;
return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
P较小,打表:
const int maxn = 1e5 + ;
ll fac[maxn];//阶乘打表
void init(ll p)//此处的p应该小于1e5,这样Lucas定理才适用
{
fac[] = ;
for(int i = ; i <= p; i++)
fac[i] = fac[i - ] * i % p;
}
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
ll ans = ;
a %= m;
while(b)
{
if(b & )ans = (ans % m) * (a % m) % m;
b /= ;
a = (a % m) * (a % m) % m;
}
ans %= m;
return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元,p为素数
{
return pow(x, p - , p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
if(m > n)return ;
return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
if(m == )return ;
return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
3、n,m较大且p不为素数的时候
扩展Lucas定理:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + ;
const int mod = 1e9 + ;
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
ll ans = ;
a %= m;
while(b)
{
if(b & )ans = (ans % m) * (a % m) % m;
b /= ;
a = (a % m) * (a % m) % m;
}
ans %= m;
return ans;
}
ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
{
ll d = a;
if(b)
{
d = extgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
}
else x = , y = ;
return d;
}
ll mod_inverse(ll a, ll m)
//求解a关于模上m的逆元
//返回-1表示逆元不存在
{
ll x, y;
ll d = extgcd(a, m, x, y);
return d == ? (m + x % m) % m : -;
} ll Mul(ll n, ll pi, ll pk)//计算n! mod pk的部分值 pk为pi的ki次方
//算出的答案不包括pi的幂的那一部分
{
if(!n)return ;
ll ans = ;
if(n / pk)
{
for(ll i = ; i <= pk; i++) //求出循环节乘积
if(i % pi)ans = ans * i % pk;
ans = pow(ans, n / pk, pk); //循环节次数为n / pk
}
for(ll i = ; i <= n % pk; i++)
if(i % pi)ans = ans * i % pk;
return ans * Mul(n / pi, pi, pk) % pk;//递归求解
} ll C(ll n, ll m, ll p, ll pi, ll pk)//计算组合数C(n, m) mod pk的值 pk为pi的ki次方
{
if(m > n)return ;
ll a = Mul(n, pi, pk), b = Mul(m, pi, pk), c = Mul(n - m, pi, pk);
ll k = , ans;//k为pi的幂值
for(ll i = n; i; i /= pi)k += i / pi;
for(ll i = m; i; i /= pi)k -= i / pi;
for(ll i = n - m; i; i /= pi)k -= i / pi;
ans = a * mod_inverse(b, pk) % pk * mod_inverse(c, pk) % pk * pow(pi, k, pk) % pk;//ans就是n! mod pk的值
ans = ans * (p / pk) % p * mod_inverse(p / pk, pk) % p;//此时用剩余定理合并解
return ans;
} ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
ll x = p;
ll ans = ;
for(ll i = ; i <= p; i++)
{
if(x % i == )
{
ll pk = ;
while(x % i == )pk *= i, x /= i;
ans = (ans + C(n, m, p, i, pk)) % p;
}
}
return ans;
} int main()
{
ll n, m, p;
while(cin >> n >> m >> p)
{
cout<<Lucas(n, m, p)<<endl;
}
return ;
}
组合数取模方法总结(Lucas定理介绍)的更多相关文章
- 2015 ICL, Finals, Div. 1 Ceizenpok’s formula(组合数取模,扩展lucas定理)
J. Ceizenpok’s formula time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input stand ...
- 组合数取模介绍----Lucas定理介绍
转载https://www.cnblogs.com/fzl194/p/9095177.html 组合数取模方法总结(Lucas定理介绍) 1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求. C(n,m) ...
- CF451E Devu and Flowers (隔板法 容斥原理 Lucas定理 求逆元)
Codeforces Round #258 (Div. 2) Devu and Flowers E. Devu and Flowers time limit per test 4 seconds me ...
- 【Gym 100947E】Qwerty78 Trip(组合数取模/费马小定理)
从(1,1)到(n,m),每次向右或向下走一步,,不能经过(x,y),求走的方案数取模.可以经过(x,y)则相当于m+n步里面选n步必须向下走,方案数为 C((m−1)+(n−1),n−1) 再考虑其 ...
- Codeforces 57C (1-n递增方案数,组合数取模,lucas)
这个题相当于求从1-n的递增方案数,为C(2*n-1,n); 取模要用lucas定理,附上代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ...
- [UOJ 275/BZOJ4737] 【清华集训2016】组合数问题 (LUCAS定理的运用+数位DP)
题面 传送门:UOJ Solution 这题的数位DP好蛋疼啊qwq 好吧,我们说回正题. 首先,我们先回忆一下LUCAS定理: \(C_n^m \equiv C_{n/p}^{m/p} \times ...
- BZOJ 3782: 上学路线 [Lucas定理 DP]
3782: 上学路线 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 192 Solved: 75[Submit][Status][Discuss] ...
- [BZOJ4591][SHOI2015]超能粒子炮·改(Lucas定理+数位DP)
大组合数取模可以想到Lucas,考虑Lucas的意义,实际上是把数看成P进制计算. 于是问题变成求1~k的所有2333进制数上每一位数的组合数之积. 数位DP,f[i][0/1]表示从高到低第i位,这 ...
- 组合数取模&&Lucas定理题集
题集链接: https://cn.vjudge.net/contest/231988 解题之前请先了解组合数取模和Lucas定理 A : FZU-2020 输出组合数C(n, m) mod p (1 ...
随机推荐
- flex的使用以及布局 转载
转 : http://www.cnblogs.com/waisonlong/p/6055020.html flex的使用以及布局 1.添加flex属性后的区别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
- SQL Serever学习6——数据表
数据表 表的构成 数据库中的基本表由记录(行)和字段(列)构成,SQLServer2008每个表可以有1024个列,每个列可以有8060字节(不包括iamge,ntext,text类型). 记录(Re ...
- 关于键盘KeyDown事件
if (e.KeyValue==13) //如果键盘的值等于13 这里面的13是enter键 textBox2.Focus(); //焦点就跑到textbox2上面
- linux运维人员成长
原文地址:https://blog.csdn.net/kwame211/article/details/78059331 初级篇 linux运维人员常用工具拓扑详见: 1rsync工具 很多地方经常会 ...
- 前端(十二):react-redux实现逻辑
一.context实现数据传递 在react中,props和state都可以设置数据.不同的是,props借助组件属性传递数据但不可以渲染组件,它相对来说是“静态的”:state可以监听事件来修改数据 ...
- 【SSH网上商城项目实战13】Struts2实现文件上传功能
转自:https://blog.csdn.net/eson_15/article/details/51366384 上一节我们做完了添加和更新商品的功能,这两个部分里有涉及到商品图片的上传,并没有详细 ...
- Oracle Metadata
http://www.devart.com/dotconnect/oracle/articles/metadata.htmlhttp://dcx.sybase.com/1101/en/dbprogra ...
- mysql中LOCATE和CASE WHEN...THEN...ELSE...END结合用法
之前项目中需要写一个sql,就是查出某个调研详情中,选A答案,B答案,C答案...F答案的人各有多少人,这个sql也是费了很大的力气才写出来,故记下来,方便以后使用. 其中tbl_research_i ...
- 爬虫必备—requests
Requests 是使用 Apache2 Licensed 许可证的 基于Python开发的HTTP 库,其在Python内置模块的基础上进行了高度的封装,从而使得Pythoner进行网络请求时,变得 ...
- IhyerDB modBus采集器配置.
近期查了一下ihyerDB-modbus采集器的相关配置,由于没有相关的modbus设备,于是今天上午根据网上的线索下载了Modbus Slave(modbus从站仿真器).笔记本也没有串口,于是下载 ...