组合数取模方法总结（Lucas定理介绍）

1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；

2、n和m较大，但是p为素数的时候

Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

也就是Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

求上式的时候，Lucas递归出口为m=0时返回1

求C(n%p, m%p)%p的时候，此处写成C(n, m)%p(p是素数，n和m均小于p)

C(n, m)%p = n! / (m ! * (n - m )!) % p = n! * mod_inverse[m! * (n - m)!, p] % p

由于p是素数，有费马小定理可知，m! * (n - m)! 关于p的逆元就是m! * (n - m)!的p-2次方。

p较小的时候预处理出1-p内所有阶乘%p的值，然后用快速幂求出逆元，就可以求出解。p较大的时候只能逐项求出分母和分子模上p的值，然后通过快速幂求逆元求解。

P较大，不打表：

 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 {
     ll ans = ;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = (ans % m) * (a % m) % m;
         b /= ;
         a = (a % m) * (a % m) % m;
     }
     ans %= m;
     return ans;
 }
 ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
 {
     return pow(x, p - , p);
 }
 ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
 {
     if(m > n)return ;
     ll up = , down = ;//分子分母;
     for(int i = n - m + ; i <= n; i++)up = up * i % p;
     for(int i = ; i <= m; i++)down = down * i % p;
     return up * inv(down, p) % p;
 }
 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
 {
     if(m == )return ;
     return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
 }

P较小，打表：

 const int maxn = 1e5 + ;
 ll fac[maxn];//阶乘打表
 void init(ll p)//此处的p应该小于1e5，这样Lucas定理才适用
 {
     fac[] = ;
     for(int i = ; i <= p; i++)
         fac[i] = fac[i - ] * i % p;
 }
 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 {
     ll ans = ;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = (ans % m) * (a % m) % m;
         b /= ;
         a = (a % m) * (a % m) % m;
     }
     ans %= m;
     return ans;
 }
 ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
 {
     return pow(x, p - , p);
 }
 ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
 {
     if(m > n)return ;
     return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
 }
 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
 {
     if(m == )return ;
     return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
 }

3、n，m较大且p不为素数的时候

扩展Lucas定理：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn = 1e6 + ;
 const int mod = 1e9 + ;
 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 {
     ll ans = ;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & )ans = (ans % m) * (a % m) % m;
         b /= ;
         a = (a % m) * (a % m) % m;
     }
     ans %= m;
     return ans;
 }
 ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
 //求解ax+by=gcd(a, b)
 //返回值为gcd(a, b)
 {
     ll d = a;
     if(b)
     {
         d = extgcd(b, a % b, y, x);
         y -= (a / b) * x;
     }
     else x = , y = ;
     return d;
 }
 ll mod_inverse(ll a, ll m)
 //求解a关于模上m的逆元
 //返回-1表示逆元不存在
 {
     ll x, y;
     ll d = extgcd(a, m, x, y);
     return d ==  ? (m + x % m) % m : -;
 }

 ll Mul(ll n, ll pi, ll pk)//计算n! mod pk的部分值  pk为pi的ki次方
 //算出的答案不包括pi的幂的那一部分
 {
     if(!n)return ;
     ll ans = ;
     if(n / pk)
     {
         for(ll i = ; i <= pk; i++) //求出循环节乘积
             if(i % pi)ans = ans * i % pk;
         ans = pow(ans, n / pk, pk); //循环节次数为n / pk
     }
     for(ll i = ; i <= n % pk; i++)
         if(i % pi)ans = ans * i % pk;
     return ans * Mul(n / pi, pi, pk) % pk;//递归求解
 }

 ll C(ll n, ll m, ll p, ll pi, ll pk)//计算组合数C(n, m) mod pk的值 pk为pi的ki次方
 {
     if(m > n)return ;
     ll a = Mul(n, pi, pk), b = Mul(m, pi, pk), c = Mul(n - m, pi, pk);
     ll k = , ans;//k为pi的幂值
     for(ll i = n; i; i /= pi)k += i / pi;
     for(ll i = m; i; i /= pi)k -= i / pi;
     for(ll i = n - m; i; i /= pi)k -= i / pi;
     ans = a * mod_inverse(b, pk) % pk * mod_inverse(c, pk) % pk * pow(pi, k, pk) % pk;//ans就是n! mod pk的值
     ans = ans * (p / pk) % p * mod_inverse(p / pk, pk) % p;//此时用剩余定理合并解
     return ans;
 }

 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
 {
     ll x = p;
     ll ans = ;
     for(ll i = ; i <= p; i++)
     {
         if(x % i == )
         {
             ll pk = ;
             while(x % i == )pk *= i, x /= i;
             ans = (ans + C(n, m, p, i, pk)) % p;
         }
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
     ll n, m, p;
     while(cin >> n >> m >> p)
     {
         cout<<Lucas(n, m, p)<<endl;
     }
     return ;
 }