【调制解调】FM 调频

说明

学习数字信号处理算法时整理的学习笔记。同系列文章目录可见《DSP 学习之路》目录，代码已上传到 Github - ModulationAndDemodulation。本篇介绍 FM 调频信号的调制与解调，内附全套 MATLAB 代码。

说明
1. FM 调制算法
2. FM 解调算法
3. FM 仿真（MATLAB Communications Toolbox）
参考资料
附录代码

1. FM 调制算法

1.1 FM 信号描述

用调制信号去控制载波的瞬时频率，使其按照调制信号的规律变化，当调制信号是模拟信号时，这个过程就被称为调频（FM）。FM 信号的时域表达式为：

\[s_{FM}(t)=Acos{\left[\omega_ct+{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]} \tag{1}
\]

式中：\(A\) 为载波恒定振幅，\(K_f\) 为调频灵敏度（单位 \(rad/(s{\cdot}V)\)），\(m(t)\) 是调制信号（携带要发出去的信息），\(cos{\omega_ct}\) 是载波，\(\omega_c\) 是载波角频率，与载波频率 \(f_c\) 之间的关系为 \(\omega_c=2{\pi}f_c\)。由式 \((1)\) 可得 FM 信号相对于载频 \({\omega_c}\) 的瞬时频偏为：

\[\frac{d{\left[{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}}{dt}={K_f}m(t) \tag{2}
\]

由 \((1)\) 式可知 FM 信号相对于载波相位 \({\omega}_ct\) 的瞬时相位偏移随 \(m(t)\) 的积分呈线性变化，由 \((2)\) 式可知 FM 信号相对于载频 \({\omega_c}\) 的瞬时频率偏移随 \(m(t)\) 成线性变化，比例系数都为 \(K_f\)。有时候会用 \(k_f\) 表示调频灵敏度（单位 \(Hz/V\)），它与 \(K_f\) 之间的关系为 \({K_f}=2{\pi}{k_f}\)，需注意这个转换关系。FM 的调频指数（调制指数） \({\beta}\) 定义如下，其中 \(W\) 是基带信号（调制信号）\(m(t)\) 的带宽（或最高频率）：

\[{\beta}=\frac{{k_f}{\lvert}{m(t)}{\rvert}_{max}}{W} \tag{3}
\]

若 \(m(t)\) 为单一频率的正弦波（即 \(m(t)={A_m}cos({2{\pi}{f_m}t})\) 时，此时 \(W={f_m}\)），则调制指数的表达式如下，调制指数的值正好与最大相位偏移相同，其中 \({\Delta}f={\beta}{f_m}\) 表示最大频偏。

\[{\beta}=\frac{{K_f}{A_m}}{\omega_m}=\frac{{k_f}{A_m}}{f_m}=\frac{{\Delta}f}{f_m}=\left[{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]_{max} \tag{4}
\]

FM 信号的频域表达式比较复杂，下面分成窄带调频与宽带调频两种情况来简化讨论。

（1）窄带调频

一般将由 \(m(t)\) 引起的最大瞬时相位偏移远小于 \(30^{\circ}\) 的情况称为窄带 FM，即满足以下条件时，FM 信号的频谱宽度比较窄，称为窄带调频（NBFM）。窄带调频占据的带宽较窄，传输数据量有限，主要应用于无线语音的传输（比如无线对讲机）。

\[{\lvert}{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}{\rvert}\ll\frac{\pi}{6} \tag{5}
\]

此时，式 \((1)\) 可以近似为：

\[\begin{aligned}
s_{NBFM}(t)&=Acos{\left[\omega_ct+{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}\\[1em]
&=Acos{(\omega_ct)}cos{\left[{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}-Asin{(\omega_ct)}sin{\left[{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}\\[1em]
&\approx{Acos}{(\omega_ct)}\cdot{1}-Asin{(\omega_ct)}\cdot{{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}}\\[1em]
&={Acos}{(\omega_ct)}-\left[A{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]sin{(\omega_ct)}
\end{aligned} \tag{6}
\]

对其做傅里叶变换，得到窄带调频（NBFM）信号的频谱（幅度谱）表达式：

\[S_{NBFM}(\omega)={\pi}A\left[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\right]+\frac{AK_f}{2}\left[\frac{M(\omega-\omega_c)}{\omega-\omega_c}-\frac{M(\omega+\omega_c)}{\omega+\omega_c}\right] \tag{7}
\]

式中，\(M(\omega)\) 是调制信号 \(m(t)\) 的频谱。与 AM 信号不同的是，NBFM 信号的两个边频分别乘了因式 \(1/(\omega-\omega_c)\) 和 \(1/(\omega+\omega_c)\)，由于因式是频率的函数，所以这种加权是频率加权，加权的结果引起调制信号频谱的失真，此外， NBFM 的一个边带和 AM 反相。

（2）宽带调频

当不满足 \((5)\) 式所表示的条件时，FM 信号被称为宽带调频（WBFM）。宽带调频所占用的频带宽度比较宽，传输数据量大，主要应用于调频立体声广播。WBFM 的时域表达式无法进一步简化，首先考虑单音调制的情况，然后把分析的结论推广到多音调制，当 \(m(t)={A_m}cos({{\omega_m}t})\) 时，带入式 \((1)\) 展开可得：

\[\begin{aligned}
s_{WBFM}(t)&=Acos{\left[\omega_ct+{K_f}\int_0^{t}{{A_m}cos({{\omega_m}{\tau}})}d{\tau}\right]}\\[1em]
&=Acos{\left[\omega_ct+\frac{{K_f}{A_m}}{\omega_m}sin({{\omega_m}t})\right]}\\[1em]
&=Acos{\left[\omega_ct+{\beta}sin({{\omega_m}t})\right]}\\[1em]
&=A\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{{J_n}(\beta)cos{\left[(\omega_c+n\omega_m)t\right]}}
\end{aligned} \tag{8}
\]

式中 \(J_n(\beta)\) 为第一类 \(n\) 阶贝塞尔函数，它是调频指数 \(\beta\) 的函数。对其做傅里叶变换，得到单音调制时宽带调频（WBFM）信号的频谱（幅度谱）表达式：

\[S_{WBFM}(\omega)={\pi}A\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{{J_n}(\beta)\left[\delta(\omega-\omega_c-n\omega_m)+\delta(\omega+\omega_c+n\omega_m)\right]} \tag{9}
\]

由式 \((8)\) 和式 \((9)\) 可见，WBFM 调频信号的频谱由载波分量 \(\omega_c\) 和无数边频 \({\omega_c}\pm{n\omega_m}\) 组成。当 \(n=0\) 时是载波分量 \(\omega_c\)，其幅度为 \(AJ_0(\beta)\)，当 \(n\not=0\) 时就是对称分布在载频两侧的边频分量 \({\omega_c}\pm{n\omega_m}\)，其幅度为 \(AJ_n(\beta)\)，相邻边频之间的间隔为 \(\omega_m\)。且当 \(n\) 为奇数时，上下边频极性相反，当 \(n\) 为偶数时极性相同。由此可见，FM 信号的频谱不再是调制信号频谱的线性搬移，而是一种非线性过程。

1.2 FM 信号的带宽与功率分配

宽带调频信号的频谱包含无穷多个频率分量，因此理论上调频信号的频带宽度为无限宽。但是，实际上边频幅度 \(J_n(\beta)\) 随着 \(n\) 的增大而逐渐减小，因此只要取适当的 \(n\) 值使边频分量小到可以忽略的程度，调频信号可以近似认为具有有限频谱。通常采用的原则是：信号的频带宽度应包括幅度大于未调载波的 \(10\%\) 以上的边频分量，即 \(\lvert{J_n(\beta)}\rvert\geq0.1\)。根据经验，当 \(\beta\geq1\) 时，取边频数 \(n=\beta+1\) 即可，因为 \(n>\beta+1\) 以上的边频幅度 \(J_n(\beta)\) 均小于 \(0.1\)，相应产生的功率均在总功率的 \(2\%\) 以下，可以忽略不计，根据这条经验规则，调频波的有效带宽为：

\[B_{FM}=2(\beta+1)W \tag{10}
\]

这就是广泛用于计算调频信号带宽的卡森（Carson）公式。式中 \(\beta\) 为调频指数，\(W\) 为基带信号（调制信号）\(m(t)\) 的带宽（或最高频率）。对于单音调制信号（即 \(m(t)={A_m}cos({2{\pi}{f_m}t})\) 时，此时 \(W={f_m}\)），将 \((4)\) 式带入 \((10)\) 式，可得：

\[B_{FM}=2(\beta+1)f_m=2({\Delta}f+f_m) \tag{11}
\]

当 \(\beta \ll 1\) 时（对应窄带调频），带宽可近似估计为 \(B_{NBFM}\approx2f_m\)，这时，带宽由第一对边频分量决定，带宽只随调制频率 \(f_m\) 变化，而与最大频偏 \({\Delta}f\) 无关。
当 \(\beta \gg 1\) 时（对应宽带调频），带宽可近似估计为 \(B_{WBFM}\approx2{\Delta}f\)，这时，带宽由最大频偏 \({\Delta}f\) 决定，而与调制频率 \(f_m\) 无关。

利用帕塞瓦尔定理以及贝塞尔函数性质，不难求得 FM 信号功率 \(P_{FM}\) 与未调载波功率 \(P_c\) 的关系如下：

\[P_{FM}=\overline{s_{WBFM}^2(t)}=\frac{A^2}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{{J_n^2}(\beta)}=\frac{A^2}{2}=P_c \tag{12}
\]

上式说明，调频信号的平均功率 \(P_{FM}\) 等于未调载波的平均功率 \(P_c\)，即调制后总的功率不变，只是将原来载波功率中的一部分分配给每个边频分量，所以，调制过程只是进行功率的重新分配，而分配的原则与调频指数 \(\beta\) 有关。

1.3 FM 信号的调制方法

FM 信号的调制方法有 3 种，一种是直接调频法，一种是间接调频法，第三种是正交调制法。

（1）直接调频法

直接调频法是用调制信号 \(m(t)\) 直接控制高频振荡器，让回路元件的参数发生改变，使其输出频率按调制信号的规律线性地变化，常用的元件是变容二极管。直接调频法的主要优点是在实现线性调频的要求下，可以获得较大的频偏，且实现电路简单；主要缺点是频率稳定度不高，往往需要采用自动频率控制系统来稳定中心频率。

（2）间接调频法

间接调频法也被称为倍频法、阿姆斯特朗法。该方法先将调制信号积分，然后对载波进行调相，即可产生一个 NBFM 信号，再经 \(n\) 次倍频器得到 WBFM 信号，间接调频法的优点是频率稳定性好，缺点是需要多次倍频和混频，电路较复杂。如下图所示，根据式 \((6)\) 窄带调频的时域表达式可知，虚线框内所示部分可以用来获得 NBFM 信号。

上图中的倍频器是一个非线性器件，以理想平方律器件为例，其输出 \(x_o(t)\) 与输入 \(x_i(t)\) 的关系为 \({x_o}(t)=a{x_i^2}(t)\)，其中 \(a\) 为常数，将式 \((6)\) 带入，得到：

\[{x_o}(t)=ax^2(t)=\frac{1}{2}aA^2\left\{ 1+cos{\left[2\omega_ct+2{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}\right\} \tag{13}
\]

接着将 \(x_o(t)\) 经过一个带通滤波器，就可以将其中的直流分量滤除，从而得到一个新的 FM 信号 \(x'_o(t)\)，如下：

\[x'_o(t)=\frac{1}{2}aA^2cos{\left[2\omega_ct+2{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]} \tag{14}
\]

这个信号的载频和相位偏移均增为原来的 \(2\) 倍，由于相位偏移增为 \(2\) 倍，因而调频指数也必然增为 \(2\) 倍，同理，经 \(n\) 次倍频后可以使调频信号的载频和调频指数增为 \(n\) 倍。增大调制指数时，一般需要保持载频不变或者不增大太多，这个时候可以接着使用一个混频器配一个带通滤波器来进行下变频，混频器只改变载频而不影响频偏，具体实现方法可参考《通信原理》相关资料。

（3）正交调制法

将 \((1)\) 式进行三角展开，可以得到：

\[\begin{aligned}
s_{FM}(t)&=Acos{\left[\omega_ct+{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}\\[1em]
&=Acos{(\omega_ct)}cos{\left[{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}-Asin{(\omega_ct)}sin{\left[{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}\\[1em]
\end{aligned} \tag{15}
\]

正交调制流程如下：

对调制信号 \(m(t)\) 进行积分，得到 \(\Phi=K_f\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\)。
对积分后的信号分别取余弦和正弦，得到 \(I\) 路数据 \(I(t)=cos(\Phi)\) 与 \(Q\) 路数据 \(Q(t)=sin(\Phi)\)。
分别乘以载波 \(Acos(\omega_ct)\) 与 \(-Asin(\omega_ct)\) 后相加，得到 FM 信号 \(s_{FM}(t)=I(t)Acos(\omega_ct)-Q(t)Asin(\omega_ct)\)。

其中第三步也可以先将 \(I(t)\) 和 \(Q(t)\) 组成一个复信号 \(Z(t)=I(t)+iQ(t)\)，然后乘以复载波 \(exp(i\omega_ct)\)，最后取实部，即 \(s_{FM}(t)=Real\left[Z(t)exp(i\omega_ct)\right]\)，两种方法是等价的。

1.4 窄带 FM 信号示例

上一小节中介绍的调制方法都与硬件实现相关，接下来使用 MATLAB 软件来直接生成 NBFM 信号。调制信号 \(m(t)\) 可以是确知信号，也可以是随机信号。当 \(m(t)\) 是确知信号时，不妨假设 \(m(t)\) 的时域表达式如下，对应的基带带宽 \(W=f_m\)：

\[m(t) = sin(2{\pi}{f_m}t)+cos({\pi}{f_m}t) \tag{16}
\]

各调制参数取值：\(A=1\)，\(f_m=2500Hz\)，\({\beta}=10^{-6}\)，\(f_c=20000Hz\)。信号采样率 \(f_s=8{f_c}\)，仿真总时长为 \(2s\)。FM 调制效果如下图所示（为了美观，时域只显示前 500 个点），调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱有四根离散谱线（\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)），调制信号 \(m(t)\) 积分后的双边幅度谱有五根离散谱线（\(0Hz\)、\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)），NBFM 调频信号 \(s(t)\) 双边幅度谱有十根离散谱线（\({\pm}22500Hz\)、\({\pm}21250Hz\)、\({\pm}20000Hz\)、\({\pm}18750Hz\)、\({\pm}17500Hz\)）。NBFM 调频信号 \(s(t)\) 的带宽满足公式 \(B_{NBFM}\approx2f_m=5000Hz\)，代码详见附录 main_modFM_example1.m 与 mod_fm.m，设置 beta = 1e-6 即可。

当 \(m(t)\) 是随机信号时，不妨假设基带信号带宽为 \(W={f_H}=3000Hz\)，各调制参数取值：\(A=1\)，\({\beta}=10^{-6}\)，\(f_c=20000Hz\)。信号采样率 \(f_s=8{f_c}\)，仿真总时长为 \(2s\)。FM 调制效果如下图所示（为了美观，时域只显示前 500 个点），调制信号 \(m(t)\) 双边幅度谱中间谱峰的范围约为 \(-3000Hz{\sim}3000Hz\)，调制信号 \(m(t)\) 积分后的双边幅度谱中间谱峰的范围依然约为 \(-3000Hz{\sim}3000Hz\)，NBFM 调频信号 \(s(t)\) 双边幅度谱有两根离散谱线（\({\pm}20000Hz\)）及两个谱峰（范围约为 \(-23000Hz{\sim}-17000Hz\)、\(17000Hz{\sim}23000Hz\)）。NBFM 调频信号 \(s(t)\) 的带宽满足公式 \(B_{NBFM}\approx2f_H=6000Hz\)，代码详见附录 main_modFM_example2.m 与 mod_fm.m，设置 beta = 1e-6 即可。

1.5 宽带 FM 信号示例

当 \(m(t)\) 是确知信号时，设 \(f_m=2500Hz\)， \(\beta=4\)，其他参数与 1.4 节中的确知信号相同，FM 调制效果如下图所示，带宽约为 \(B_{FM}=2(\beta+1)f_m=25000Hz\)，代码详见附录 main_modFM_example1.m 与 mod_fm.m，设置 fm = 2500, beta = 4 即可。

.当 \(m(t)\) 是确知信号时，设 \(f_m=1000Hz\)， \(\beta=15\)，其他参数与 1.4 节中的确知信号相同，FM 调制效果如下图所示，带宽约为 \(B_{WBFM}\approx2{\Delta}f=2{\beta}f_m=30000Hz\)，代码详见附录 main_modFM_example1.m 与 mod_fm.m，设置 fm = 1000, beta = 15 即可。

2. FM 解调算法

解调是调制的逆过程，其作用是从接收的已调信号中恢复原基带信号（即调制信号）。FM 解调的方法也分为相干解调和非相干解调，普通的相干解调仅适用于 NBFM 信号，正交相干解调与非相干解调对 NBFM 信号和 WBFM 信号均适用。下面分别用几种不同方法对 1.4 与 1.5 节中确知信号的 FM 调制结果进行解调。

2.1 非相干解调（鉴频器）

微分器和包络检波器是一种最常见的鉴频器。其中微分器的作用是把幅度恒定的调频波 \(s_{FM}(t)\) 变成幅度和频率都随调制信号 \(m(t)\) 变化的调幅调频波 \(s_d(t)\)，即：

\[\begin{aligned}
s_d(t)&=\frac{ds_{FM}(t)}{dt}\\[1em]
&=\frac{d\left\{ Acos{\left[\omega_ct+{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}\right\}}{dt}\\[1em]
&=-A\left[\omega_c+{K_f}m(t)\right]sin{\left[\omega_ct+{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]}\\[1em]
\end{aligned} \tag{17}
\]

包络检波器则将其幅度变化检出并滤去直流，即得解调输出 \(m_o(t)={K_d}{K_f}m(t)\)，式中 \(K_d\) 为鉴频器灵敏度（单位 \(V/(rad/s)\)）。FM 非相干解调（鉴频器）一般有以下四个步骤，其中第一步是微分器，第二至第四步是包络检波器，与 AM 包络检波的流程一样。

第一步：求微分，得到 \(s_d(t)\)。
第二步：全波整流（对 \(s(t)\) 取绝对值）或半波整流（将 \(s(t)\) 小于 \(0\) 的地方置零）。
第三步：低通滤波器滤除高频载波，滤除 \(2{\omega}_c\) 或 \({\omega}_c\)。
第四步：去除直流分量（减去自身均值）。

对 1.4 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=2500Hz\)，\({\beta}=10^{-6}\)，信噪比 \(SNR=150dB\)，非相干解调效果如下，最大频偏 \({\Delta}f={\beta}f_m=0.0025Hz\) 过小，解调效果很差。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=2500Hz\)，\({\beta}=4\)，信噪比 \(SNR=50dB\)，非相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx7.61\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0920\)。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=1000Hz\)，\({\beta}=15\)，信噪比 \(SNR=50dB\)，非相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx5.07\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0634\)。

非相干解调（鉴频器）的代码详见 lpf_filter.m、demod_fm_method1.m 和 main_demodFM_example1.m。

2.2 非相干解调（鉴频器 - 希尔伯特变换法）

鉴频器中的包络检波器可以通过希尔伯特变换法来实现，解调时无需任何载频信息，这样，FM 非相干解调（鉴频器）可以分为以下三个步骤。

第一步：求微分，得到 \(s_d(t)\)。
第二步：计算 \(s_d(t)\) 的希尔伯特变换，得到一个复信号（实部为 \(s_d(t)\)，虚部为其希尔伯特变换结果），对所得复信号取模，即为 \(s_d(t)\) 的包络。
第三步：去除直流分量（减去自身均值）。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=2500Hz\)，\({\beta}=4\)，信噪比 \(SNR=50dB\)，非相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx4.87\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0492\)。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=1000Hz\)，\({\beta}=15\)，信噪比 \(SNR=50dB\)，非相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx3.26\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0433\)。

非相干解调（鉴频器 - 希尔伯特变换法）的代码详见 demod_fm_method2.m 和 main_demodFM_example2.m。

2.3 相干解调

相干解调时，为了无失真地恢复原基带信号，接收端必须提供一个与调制载波严格同步（同频同相）的本地载波（称为相干载波，可使用锁相环技术得到）。普通的相干解调仅适用于 NBFM 信号，其解调框图如下：

其中：

\[s_{NBFM}(t)={Acos}{(\omega_ct)}-\left[A{K_f}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]sin{(\omega_ct)} \tag{18}
\]

相干载波 \(c(t)=-sin({\omega_c}t)\)，则相乘器的输出为：

\[s_p(t)=-\frac{A}{2}sin{(2{\omega_c}t)}+\left[\frac{AK_f}{2}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\right]\cdot\left[{1-cos(2{\omega_c}t)}\right] \tag{19}
\]

经低通滤波器取出其低频分量：

\[s_d(t)=\frac{AK_f}{2}\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau} \tag{20}
\]

再经微分器，即得解调输出：

\[m_o(t)=\frac{AK_f}{2}m(t) \tag{21}
\]

可见，相干解调可以恢复原调制信号，这种解调方法与线性调制中的相干解调一样，要求本地载波与调制载波同步，否则将使解调信号失真。NBFM 相干解调可以分为以下几步：

第一步：乘以相干载波（即乘以 \(-sin({\omega_c}t+\phi_0)\)），注意载波初始相位。
第二步：低通滤波滤除高频载波，滤除 \(2\omega_c\)。
第三步：求微分。

对 1.4 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=2500Hz\)，\({\beta}=10^{-6}\)，信噪比 \(SNR=150dB\)，相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx222.30\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.1313\)。更改相干载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\)，或者更改相干载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后，解调效果变差，说明这种方法对相干载波同频同相的要求较高，鲁棒性不够强悍，可使用锁相环技术来改善这一缺点。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=2500Hz\)，\({\beta}=4\)，信噪比 \(SNR=50dB\)，相干解调效果如下，可知这种方法不适用于非窄带调频信号。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=1000Hz\)，\({\beta}=15\)，信噪比 \(SNR=50dB\)，相干解调效果如下，可知这种方法不适用于非窄带调频信号。

相干解调的代码详见 lpf_filter.m、demod_fm_method3.m 和 main_demodFM_example3.m。

2.4 数字正交解调

数字正交解调也属于相干解调的一种，但这种方法具有较强的抗载频失配能力，不要求相干载波严格的同频同相。FM 数字正交解调一般有以下四个步骤：

第一步：乘以正交相干载波得到 \({s_I}(t)\) 与 \({s_Q}(t)\)，即 \({s_I}(t)=s(t)cos({\omega_ct}+{\phi_0})\)，\({s_Q}(t)=-s(t)sin({\omega_ct}+{\phi_0})\)。
第二步：低通滤波器滤除 \({s_I}(t)\) 与 \({s_Q}(t)\) 中的高频分量。
第三步：通过反正切计算相位 \(\Phi(t)=atan\left[\frac{s_Q(t)}{s_I(t)}\right]=k\int_0^{t}{m(\tau)}d{\tau}\)。
第四步：对相位进行差分，得到解调结果 \(m_o(t)\)。

反正切运算在硬件中难以实现，通过一阶近似，上面第三步与第四步可合并为以下式子：

\[m_o(t)=\frac{{s_I(n-1)}{s_Q(n)}-{s_I(n)}{s_Q(n-1)}}{{s_I^2(n)}+{s_Q^2(n)}} \tag{22}
\]

对 1.4 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=2500Hz\)，\({\beta}=10^{-6}\)，信噪比 \(SNR=150dB\)，数字正交解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx17782852.62\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.1318\)。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=2500Hz\)，\({\beta}=4\)，信噪比 \(SNR=50dB\)，数字正交解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx4.48\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0391\)。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 \(f_m=1000Hz\)，\({\beta}=15\)，信噪比 \(SNR=50dB\)，数字正交解调效果如下，解调后幅度放大系数 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx2.99\)，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0163\)。

数字正交解调的代码详见 lpf_filter.m、demod_fm_method4.m 和 main_demodFM_example4.m。更改相干载波的初始相位为 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\)，或者更改相干载波的中心频率为 \(0.8f_c,1.2f_c\) 后，解调效果依然比较好，说明这种方法具有较好的抗载频失配能力。

3. FM 仿真（MATLAB Communications Toolbox）

MATLAB 的 Communications Toolbox 中提供了 FM 调制函数 fmmod，高斯白噪声函数 awgn，以及 FM 解调函数 fmdemod，可以很方便地完成 FM 信号仿真。使用这三个函数实现上面 1.4 节中确知信号 \(m(t)\) 的 FM 调制解调，调制后加噪声的效果如下：

解调效果如下：

解调信号与调制信号波形基本重回，计算误差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.2397\)。代码详见附录 main_CommFM_example.m。

参考资料

[1] 楼才义,徐建良,杨小牛.软件无线电原理与应用[M].电子工业出版社,2014.

[2] 樊昌信,曹丽娜.通信原理.第7版[M].国防工业出版社,2012.

[3] 刘学勇.详解MATLAB/Simulink通信系统建模与仿真[M].电子工业出版社,2011.

[4] 王丽娜,王兵.卫星通信系统.第2版[M].国防工业出版社,2014.

[5] 博客园 - 两种频率调制(FM)方法的MATLAB实现。

[6] CSDN - 数字信号处理基础----FM的调制与解调。

附录代码

附.1 文件 mod_fm.m

function [ sig_fm, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A)

% MOD_FM        FM 调频

% 输入参数：

%       fc      载波中心频率

%       beta    调频指数/调制指数

%       fs      信号采样率

%       mt      调制信号

%       t       采样时间

%       W       基带信号带宽（最高频率）

%       A       载波恒定振幅

% 输出参数：

%       sig_fm  调频(FM)实信号

%       deltaf  最大频偏

% @author 木三百川

% 计算调频灵敏度及最大频偏

kf = beta*W/max(abs(mt));

deltaf = beta*W;

% 计算调制信号积分

int_mt = cumtrapz(t,mt);

% 生成信号

sig_fm = A*cos(2*pi*fc*t+2*pi*kf*int_mt); % FM调频信号

% 绘图

nfft = length(sig_fm);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm));

subplot(3,2,1);

plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');

subplot(3,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱');

subplot(3,2,3);

plot(t(1:plot_length), int_mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)积分');

subplot(3,2,4);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(int_mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)积分双边幅度谱');

subplot(3,2,5);

plot(t(1:plot_length), sig_fm(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM调频信号s(t)');

subplot(3,2,6);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM调频信号s(t)双边幅度谱');

end

附.2 文件 main_modFM_example1.m

clc;

clear;

close all;

% FM 调制仿真(调制信号为确知信号)

% @author 木三百川

% 调制参数

A = 1;                  % 载波恒定振幅

fm = 2500;              % 调制信号参数

beta = 1e-6;            % 调频指数/调制指数

fc = 20000;             % 载波频率

fs = 8*fc;              % 采样率

total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间

t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号

mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

W = fm;

% FM 调制

[ sig_fm, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);

fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

附.3 文件 main_modFM_example2.m

clc;

clear;

close all;

% FM 调制仿真(调制信号为随机信号)

% @author 木三百川

% 调制参数

A = 1;                  % 载波恒定振幅

fH = 3000;          	% 基带信号带宽

beta = 1e-6;            % 调频指数/调制指数

fc = 20000;             % 载波频率

fs = 8*fc;              % 采样率

total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间

t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为随机信号

mt = randn(size(t));

b = fir1(512, fH/(fs/2), 'low');

mt = filter(b,1,mt);

mt = mt - mean(mt);

W = fH;

% FM 调制

[ sig_fm, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);

fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

附.4 文件 lpf_filter.m

function sig_lpf = lpf_filter(sig_data, cutfre)

% LPF_FILTER    自定义理想低通滤波器

% 输入参数：

%       sig_data        待滤波数据

%       cutfre          截止频率，范围 (0,1)

% 输出参数：

%       sig_lpf         低通滤波结果

% @author 木三百川

nfft = length(sig_data);

lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);

ridx = nfft - lidx;

sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data));

sig_fft_lpf([1:lidx,ridx:nfft]) = 0;

sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf)));

end

附.5 文件 demod_fm_method1.m

function [ sig_fm_demod ] = demod_fm_method1(sig_fm_receive, fc, fs, t)

% DEMOD_FM_METHOD1        FM 非相干解调（鉴频器）

% 输入参数：

%       sig_fm_receive      FM 接收信号，行向量

%       fc                  载波中心频率

%       fs                  信号采样率

%       t                   采样时间

% 输出参数：

%       sig_fm_demod        解调结果，与 sig_fm_receive 等长

% @author 木三百川

% 第一步：求微分

sig_dfm = [diff(sig_fm_receive),0];

% 第二步：全波整流

sig_fm_abs = abs(sig_dfm);

% 第三步：低通滤波

sig_fm_lpf = lpf_filter(sig_fm_abs, fc/2/(fs/2));

% 第四步：去除直流分量

sig_fm_demod = sig_fm_lpf - mean(sig_fm_lpf);

% 绘图

nfft = length(sig_fm_abs);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_abs));

subplot(3,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_abs(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('全波整流结果');

subplot(3,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_abs,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('全波整流结果双边幅度谱');

subplot(3,2,3);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_lpf(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('低通滤波结果');

subplot(3,2,4);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_lpf,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('低通滤波结果双边幅度谱');

subplot(3,2,5);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('（去除直流）解调结果');

subplot(3,2,6);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_demod,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('（去除直流）解调结果双边幅度谱');

end

附.6 文件 main_demodFM_example1.m

clc;

clear;

close all;

% FM 解调仿真(调制信号为确知信号，非相干解调)

% @author 木三百川

% 调制参数

A = 1;                  % 载波恒定振幅

fm = 1000;              % 调制信号参数

beta = 15;              % 调频指数/调制指数

fc = 20000;             % 载波频率

fs = 8*fc;              % 采样率

total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间

t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号

mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

W = fm;

% FM 调制

[ sig_fm_send, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);

fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

% 加噪声

snr = 50;               % 信噪比

sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% 非相干解调

[ sig_fm_demod ] = demod_fm_method1(sig_fm_receive, fc, fs, t);

% 绘图

nfft = length(sig_fm_receive);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));

subplot(1,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');

subplot(1,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_fm_demod));

fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_fm_demod)/norm(mt));

figure;set(gcf,'color','w');

plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

hold on;

plot(t(1:plot_length), coef*sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');

legend('调制信号','解调信号(放大后)');

附.7 文件 demod_fm_method2.m

function [ sig_fm_demod ] = demod_fm_method2(sig_fm_receive, fs, t)

% DEMOD_FM_METHOD2        FM 非相干解调（鉴频器 - 希尔伯特变换法）

% 输入参数：

%       sig_fm_receive      FM 接收信号，行向量

%       fs                  信号采样率

%       t                   采样时间

% 输出参数：

%       sig_fm_demod        解调结果，与 sig_fm_receive 等长

% @author 木三百川

% 第一步：求微分

sig_dfm = [diff(sig_fm_receive),0];

% 第二步：计算信号包络

sig_fm_envelope = abs(hilbert(sig_dfm));

% 第三步：去除直流分量

sig_fm_demod = sig_fm_envelope - mean(sig_fm_envelope);

% 绘图

nfft = length(sig_fm_receive);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));

subplot(3,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_dfm(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('求微分结果');

subplot(3,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dfm,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('求微分结果双边幅度谱');

subplot(3,2,3);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_envelope(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('计算信号包络结果');

subplot(3,2,4);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_envelope,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('计算信号包络结果双边幅度谱');

subplot(3,2,5);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('（去除直流）解调结果');

subplot(3,2,6);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_demod,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('（去除直流）解调结果双边幅度谱');

end

附.8 文件 main_demodFM_example2.m

clc;

clear;

close all;

% FM 解调仿真(调制信号为确知信号，非相干解调/希尔伯特变换法)

% @author 木三百川

% 调制参数

A = 1;                  % 载波恒定振幅

fm = 1000;              % 调制信号参数

beta = 15;              % 调频指数/调制指数

fc = 20000;             % 载波频率

fs = 8*fc;              % 采样率

total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间

t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号

mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

W = fm;

% FM 调制

[ sig_fm_send, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);

fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

% 加噪声

snr = 50;               % 信噪比

sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% 非相干解调

[ sig_fm_demod ] = demod_fm_method2(sig_fm_receive, fs, t);

% 绘图

nfft = length(sig_fm_receive);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));

subplot(1,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');

subplot(1,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_fm_demod));

fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_fm_demod)/norm(mt));

figure;set(gcf,'color','w');

plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

hold on;

plot(t(1:plot_length), coef*sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');

legend('调制信号','解调信号(放大后)');

附.9 文件 demod_fm_method3.m

function [ sig_fm_demod ] = demod_fm_method3(sig_fm_receive, fc, fs, t, phi0)

% DEMOD_FM_METHOD3        FM 相干解调

% 输入参数：

%       sig_fm_receive      FM 接收信号，行向量

%       fc                  载波中心频率

%       fs                  信号采样率

%       t                   采样时间

%       phi0                相干载波初始相位

% 输出参数：

%       sig_fm_demod        解调结果，与 sig_fm_receive 等长

% @author 木三百川

% 第一步：乘以相干载波

sig_fm_ct = -sig_fm_receive.*sin(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通滤波

sig_fm_lpf = lpf_filter(sig_fm_ct, fc/(fs/2));

% 第三步：求微分

sig_fm_demod = [diff(sig_fm_lpf),0]*fs;

% 绘图

nfft = length(sig_fm_receive);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));

subplot(3,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_ct(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('乘以相干载波结果');

subplot(3,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_ct,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('乘以相干载波结果双边幅度谱');

subplot(3,2,3);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_lpf(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('低通滤波结果');

subplot(3,2,4);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_lpf,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('低通滤波结果双边幅度谱');

subplot(3,2,5);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('（求微分）解调结果');

subplot(3,2,6);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_demod,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('（求微分）解调结果双边幅度谱');

end

附.10 文件 main_demodFM_example3.m

clc;

clear;

close all;

% FM 解调仿真(调制信号为确知信号，相干解调)

% @author 木三百川

% 调制参数

A = 1;                  % 载波恒定振幅

fm = 2500;              % 调制信号参数

beta = 1e-6;            % 调频指数/调制指数

fc = 20000;             % 载波频率

fs = 8*fc;              % 采样率

total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间

t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号

mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

W = fm;

% FM 调制

[ sig_fm_send, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);

fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

% 加噪声

snr = 150;               % 信噪比

sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% 相干解调

ini_phase = 0;

[ sig_fm_demod ] = demod_fm_method3(sig_fm_receive, fc, fs, t, ini_phase);

% 绘图

nfft = length(sig_fm_receive);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));

subplot(1,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');

subplot(1,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_fm_demod));

fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_fm_demod)/norm(mt));

figure;set(gcf,'color','w');

plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

hold on;

plot(t(1:plot_length), coef*sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');

legend('调制信号','解调信号(放大后)');

附.11 文件 demod_fm_method4.m

function [ sig_fm_demod ] = demod_fm_method4(sig_fm_receive, fc, fs, t, phi0)

% DEMOD_FM_METHOD4        FM 数字正交解调/相干解调

% 输入参数：

%       sig_fm_receive      FM 接收信号，行向量

%       fc                  载波中心频率

%       fs                  信号采样率

%       t                   采样时间

%       phi0                相干载波初始相位

% 输出参数：

%       sig_fm_demod        解调结果，与 sig_fm_receive 等长

% @author 木三百川

% 第一步：乘以正交相干载波

sig_fm_i = sig_fm_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);

sig_fm_q = -sig_fm_receive.*sin(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通滤波

sig_fm_i_lpf = lpf_filter(sig_fm_i, fc/(fs/2));

sig_fm_q_lpf = lpf_filter(sig_fm_q, fc/(fs/2));

% 第三步：计算相位

Pt = unwrap(atan2(sig_fm_q_lpf, sig_fm_i_lpf));

% 第四步：计算差分

sig_fm_demod = [diff(Pt),0];

% % 合并第三步与第四步：反正切近似

% sig_fm_demod = (sig_fm_i_lpf(1:end-1).*sig_fm_q_lpf(2:end)-sig_fm_i_lpf(2:end).* ...

%     sig_fm_q_lpf(1:end-1))./(sig_fm_i_lpf(2:end).^2+sig_fm_q_lpf(2:end).^2);

% sig_fm_demod = [sig_fm_demod, sig_fm_demod(end)];

% 绘图

nfft = length(sig_fm_receive);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));

subplot(2,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_i(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('乘以正交相干载波 I 路结果');

subplot(2,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_i,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('乘以正交相干载波 I 路结果双边幅度谱');

subplot(2,2,3);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_q(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('乘以正交相干载波 Q 路结果');

subplot(2,2,4);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_q,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('乘以正交相干载波 Q 路结果双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');

subplot(2,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_i_lpf(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('低通滤波 I 路结果');

subplot(2,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_i_lpf,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('低通滤波 I 路结果双边幅度谱');

subplot(2,2,3);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_q_lpf(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('低通滤波 Q 路结果');

subplot(2,2,4);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_q_lpf,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('低通滤波 Q 路结果双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');

subplot(2,2,1);

plot(t(1:plot_length), Pt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('计算相位结果');

subplot(2,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(Pt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('计算相位结果双边幅度谱');

subplot(2,2,3);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('（计算差分）解调结果');

subplot(2,2,4);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_demod,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('（计算差分）解调结果双边幅度谱');

end

附.12 文件 main_demodFM_example4.m

clc;

clear;

close all;

% FM 解调仿真(调制信号为确知信号，数字正交解调)

% @author 木三百川

% 调制参数

A = 1;                  % 载波恒定振幅

fm = 1000;              % 调制信号参数

beta = 15;              % 调频指数/调制指数

fc = 20000;             % 载波频率

fs = 8*fc;              % 采样率

total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间

t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号

mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

W = fm;

% FM 调制

[ sig_fm_send, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);

fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

% 加噪声

snr = 50;               % 信噪比

sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% 相干解调

ini_phase = 0;

[ sig_fm_demod ] = demod_fm_method4(sig_fm_receive, fc, fs, t, ini_phase);

% 绘图

nfft = length(sig_fm_receive);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));

subplot(1,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');

subplot(1,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_fm_demod));

fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_fm_demod)/norm(mt));

figure;set(gcf,'color','w');

plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

hold on;

plot(t(1:plot_length), coef*sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');

legend('调制信号','解调信号(放大后)');

附.13 文件 main_CommFM_example.m

clc;

clear;

close all;

% FM 调制解调仿真(使用Communications Toolbox工具箱)

% @author 木三百川

% 调制参数

A = 1;                  % 载波恒定振幅

fm = 2500;              % 调制信号参数

beta = 1e-6;            % 调频指数/调制指数

fc = 20000;             % 载波频率

fs = 8*fc;              % 采样率

total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间

t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号

mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% FM 调制

freqdev = beta*fm;

ini_phase = 0;

sig_fm_send = A*fmmod(mt, fc, fs, freqdev, ini_phase);

% 加噪声

snr = 150;               % 信噪比

sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% FM 解调

[ sig_fm_demod ] = fmdemod(sig_fm_receive, fc, fs, freqdev, ini_phase);

% 绘图

nfft = length(sig_fm_receive);

freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);

figure;set(gcf,'color','w');

plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));

subplot(1,2,1);

plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');

subplot(1,2,2);

plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);

xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');

plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

hold on;

plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);

xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');

legend('调制信号','解调信号');

fprintf('norm(调制信号 - 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', norm(mt-sig_fm_demod)/norm(mt));