【BZOJ2301】Problem b(莫比乌斯反演)
题意:对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,
且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000
思路:第一题反演……
利用容斥原理将原询问拆成4个,问题就转化为:
1<=i<=trunc(a div k),1<=j<=trunc(b div k),gcd(i,j)=1的(i,j)数对个数
令f(i)表示满足gcd(x,y)=i时(x,y)的对数,F(i)表示满足i|gcd(x,y)的(x,y)的对数
显然F(i)=trunc(n div i)*trunc(m div i)
f(1)=sigma u(d)*n div d*m div d (1<=d<=n)
观察可得n div d*m div d只有2根号n个取值,且每个取值对应的u(i)是连续的一段
然后就可以记录u的前缀和来优化
From http://m.blog.csdn.net/article/details?id=50590197
//uses sysutils;
const max=;
var mu,sum,prime:array[..max]of longint;
flag:array[..max]of longint;
a,b,c,d,k,i,j,t,m,cas,v:longint;
tmp:double; procedure swap(var x,y:longint);
var t:int64;
begin
t:=x; x:=y; y:=t;
end; function clac(n,m:longint):int64;
var i,t1,t2,pos:longint;
x,y:int64;
begin
if n>m then swap(n,m);
clac:=; i:=;
while i<=n do
begin
x:=n div i; y:=m div i;
t1:=n div x;
t2:=m div y;
if t1<t2 then pos:=t1
else pos:=t2;
clac:=clac+x*y*(sum[pos]-sum[i-]);
i:=pos+;
end;
end; begin
assign(input,'bzoj2301.in'); reset(input);
assign(output,'bzoj2301.out'); rewrite(output);
// tmp:=now;
read(cas);
mu[]:=;
for i:= to max do
begin
if flag[i]= then
begin
inc(m); prime[m]:=i;
mu[i]:=-;
end;
j:=;
while (j<=m)and(prime[j]*i<=max) do
begin
t:=prime[j]*i;
flag[t]:=;
if i mod prime[j]= then
begin
mu[t]:=;
break;
end;
mu[t]:=-mu[i];
inc(j);
end;
end;
for i:= to max do sum[i]:=sum[i-]+mu[i];
for v:= to cas do
begin
read(a,b,c,d,k);
dec(a); dec(c);
a:=a div k; b:=b div k; c:=c div k; d:=d div k;
writeln(clac(b,d)-clac(b,c)-clac(a,d)+clac(a,c));
end;
//writeln((now-tmp)*::);
close(input);
close(output);
end.
UPD(2018.10.22):C++
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define N 51000
#define M 410000
#define eps 1e-8
#define pi acos(-1)
#define oo 1e9 int mu[N+],s[N+],prime[N+],flag[N+]; ll calc(int n,int m)
{
if(n>m) swap(n,m);
ll ans=;
int i=;
while(i<=n)
{
ll x=n/i;
ll y=m/i;
int t1=n/x;
int t2=m/y;
int pos=min(t1,t2);
ans+=x*y*(s[pos]-s[i-]);
i=pos+;
}
return ans;
} int main()
{
int cas;
scanf("%d",&cas);
mu[]=;
int m=;
for(int i=;i<=N;i++)
{
if(!flag[i])
{
prime[++m]=i;
mu[i]=-;
}
for(int j=;j<=m;j++)
{
int t=prime[j]*i;
if(t>N) break;
flag[t]=;
if(i%prime[j]==)
{
mu[t]=;
break;
}
mu[t]=-mu[i];
}
}
for(int i=;i<=N;i++) s[i]=s[i-]+mu[i];
while(cas--)
{
int a,b,c,d,k;
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
a--; c--;
a/=k; b/=k; c/=k; d/=k;
ll ans=calc(b,d)-calc(b,c)-calc(a,d)+calc(a,c);
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
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