[UOJ#221][BZOJ4652][Noi2016]循环之美
[UOJ#221][BZOJ4652][Noi2016]循环之美
试题描述
这部分将提供一个将分数化为对应的小数的方法,如果你已经熟悉这个方法,你不必阅读本提示。
分数可以通过除法,用分子除以分母化为对应的小数。有些分数在除法过程中无法除尽,这样的分数在不断进行的除法过程中余数一定会重复出现。从商数的个位所对应的余数起,设第一次重复出现的余数前两次出现的位置所对应的商数位分别是小数点后第 aa 位和小数点后第 bb 位(特殊地:如果其中一个对应的商数位是个位,则认为 a=0;不妨设 a<b),则其循环部分可以用小数点后第 a+1 位到小数点后第 b 位的循环来表示。
例如:在十进制下,将 5/11 转化为小数时,个位开始的商数依次为 4,5,4,…,对应的余数分别为 6,5,6,…。余数第一次重复出现的位置是个位和小数点后第 2 位,那么 a=0,b=2 即其循环部分可以用小数点第 1 位到第 3 位来表示。表示为:5/11=0.45454545…=0.4˙5˙。
在十进制下,将 1/6 转化为小数时,个位开始的商数依次为 1,6,6,…,对应的余数分别为 4,4,4,…。余数第一次重复出现的位置是小数点后第 1 位和小数点后第 2 位,即其循环部分可以用小数点后第 2 位来表示。表示为:16=0.1666……=0.16˙。
需要注意的是:商数重复出现并不代表进入了循环节。
输入
输出
一行一个整数,表示满足条件的美的数的个数。
输入示例
输出示例
数据规模及约定
见“输入”
题解
根据它的提示,我们可以列一列式子:(令商第 i 位后的余数为 pi)
联立得到
又有 (x, y) = 1,所以得到 km mod y = 1,即 (k, y) = 1。
那么现在题目就是在求:
纯暴力 24 分可以拿到了。
接下来,学习了莫比乌斯反演,我们知道它可以变形
交换一下枚举顺序,得到
那么如果最右边那个Σ能够 O(1) 得到,枚举 d 即可 O(nlogk) 求解,那个Σ求法如下
所以我们只需要预处理出 i = 1, 2, ..., k 时 f(i) 的值即可。至此我们拿到了 84 分。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std; int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
} #define maxn 20000001
#define maxk 2010
#define LL long long bool vis[maxn];
int cp, prime[maxn], mu[maxn];
void init() {
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++) {
if(!vis[i]) prime[++cp] = i, mu[i] = -1;
for(int j = 1; i * prime[j] < maxn && j <= cp; j++) {
vis[i*prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0){ mu[i*prime[j]] = 0; break; }
mu[i*prime[j]] = -mu[i];
}
}
return ;
} int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } int f[maxk];
int calc(int n, int k) {
return n / k * f[k] + f[n%k];
} int main() {
init(); int n = read(), m = read(), k = read();
for(int i = 1; i <= k; i++) f[i] = f[i-1] + (gcd(i, k) == 1); LL sum = 0;
for(int d = 1; d <= n; d++) if(gcd(d, k) == 1) sum += (LL)mu[d] * (n / d) * calc(m / d, k);
printf("%lld\n", sum); return 0;
}
接着推式子
如果我们能快速求出 g(i, k) 的值,那么可以给后面 [n / d] 以及 f([m / d]) 的值分成 2(sqrt(n) + sqrt(m)) 类并最终高效地求得答案。
考虑 k 的一个质因数 p,那么 k = ptq,[gcd(d,k)=1] 的部分 = [gcd(d,q)=1] 的部分 - [gcd(d,p)>1][gcd(d,q)=1]的部分,所以得到
显然 [gcd(pd,q)=1] = [gcd(p,q)=1][gcd(d,q)=1] = [gcd(d,q)=1]
又因为 [gcd(d,q)=1][gcd(d,p)=1] = [gcd(d,pq)=1],所以,把上式接着变化
这样,我们就可以递归求 g(i, k) 了,每次要么 k 除掉一个它的质因数(除干净),要么 i 变成 [i / p],所以状态数会非常少。
递归边界:i = 0 时 g(i, k) = 0;k = 1 时 g(i, k) 就是莫比乌斯函数的前缀和,学习了杜教筛,就迎刃而解了。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std; int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
} #define maxn 1000001
#define maxk 2010
#define MOD 1000007
#define LL long long
#define oo 2147483647 bool vis[maxn];
int cp, prime[maxn], mu[maxn], smu[maxn];
void init() {
mu[1] = 1; smu[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++) {
if(!vis[i]) prime[++cp] = i, mu[i] = -1;
for(int j = 1; i * prime[j] < maxn && j <= cp; j++) {
vis[i*prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0){ mu[i*prime[j]] = 0; break; }
mu[i*prime[j]] = -mu[i];
}
smu[i] = smu[i-1] + mu[i];
}
return ;
} int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } int f[maxk];
int calc(int n, int k) {
return n / k * f[k] + f[n%k];
} struct Hash {
int ToT, head[MOD], nxt[maxn], num[maxn], num2[maxn], val[maxn];
Hash() { ToT = 0; memset(head, 0, sizeof(head)); }
void Insert(int x, int v) {
int u = x % MOD;
nxt[++ToT] = head[u]; num[ToT] = x; val[ToT] = v; head[u] = ToT;
return ;
}
void Insert2(int x1, int x2, int v) {
int u = ((LL)x1 * 233 + x2) % MOD;
nxt[++ToT] = head[u]; num[ToT] = x1; num2[ToT] = x2; val[ToT] = v; head[u] = ToT;
return ;
}
int Find(int x) {
int u = x % MOD;
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(num[e] == x) return val[e];
return 0;
}
int Find2(int x1, int x2) {
int u = ((LL)x1 * 233 + x2) % MOD;
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(num[e] == x1 && num2[e] == x2) return val[e];
return oo;
}
} hh, hh2; int getsum(int n) {
if(n < maxn) return smu[n];
if(hh.Find(n)) return hh.Find(n);
int sum = 1;
for(int i = 2, lst; i <= n; i = lst + 1) {
lst = n / (n / i);
sum -= getsum(n / i) * (lst - i + 1);
}
hh.Insert(n, sum);
return sum;
} int fir_p[maxk], lst_q[maxk];
int Find(int n, int k) {
if(!n) return 0;
if(k == 1) return getsum(n);
if(hh2.Find2(n, k) < oo) return hh2.Find2(n, k);
int p = fir_p[k], q = lst_q[k];
int tmp = Find(n, q) + Find(n / p, p * q);
hh2.Insert2(n, k, tmp);
return tmp;
} int main() {
init(); int n = read(), m = read(), k = read();
for(int i = 1; i <= k; i++) f[i] = f[i-1] + (gcd(i, k) == 1); for(int K = 2; K <= k; K++)
for(int i = 1; i <= cp; i++) if(K % prime[i] == 0) {
fir_p[K] = prime[i];
lst_q[K] = K; while(lst_q[K] % fir_p[K] == 0) lst_q[K] /= fir_p[K];
break;
}
LL sum = 0;
for(int i = 1, lst; i <= min(n, m); i = lst + 1) {
lst = min(n / (n / i), m / (m / i));
sum += (LL)(Find(lst, k) - Find(i - 1, k)) * (n / i) * calc(m / i, k);
}
printf("%lld\n", sum); return 0;
}
顺便补一下杜教筛的核心公式:
然后我们就可以通过对 [n / i] 的值分类递归求出 F(n) 了(第二行第一个等号画画表理解吧。。。)
其实杜教筛适用于所有狄利克雷卷积非常好算的数论函数。
[UOJ#221][BZOJ4652][Noi2016]循环之美的更多相关文章
- bzoj4652 [Noi2016]循环之美
Description 牛牛是一个热爱算法设计的高中生.在他设计的算法中,常常会使用带小数的数进行计算.牛牛认为,如果在k进制下,一个数的小数部分是纯循环的,那么它就是美的.现在,牛牛想知道:对于已知 ...
- BZOJ4652: [Noi2016]循环之美(莫比乌斯反演,杜教筛)
Description 牛牛是一个热爱算法设计的高中生.在他设计的算法中,常常会使用带小数的数进行计算.牛牛认为,如果在 k 进制下,一个数的小数部分是纯循环的,那么它就是美的.现在,牛牛想知道:对 ...
- BZOJ4652 NOI2016循环之美(莫比乌斯反演+杜教筛)
因为要求数值不同,不妨设gcd(x,y)=1.由提示可以知道,x/y是纯循环小数的充要条件是x·klen=x(mod y).因为x和y互质,两边同除x,得klen=1(mod y).那么当且仅当k和y ...
- BZOJ4652 [Noi2016]循环之美 【数论 + 莫比乌斯反演 + 杜教筛】
题目链接 BZOJ 题解 orz 此题太优美了 我们令\(\frac{x}{y}\)为最简分数,则\(x \perp y\)即,\(gcd(x,y) = 1\) 先不管\(k\)进制,我们知道\(10 ...
- luogu 1587 [NOI2016]循环之美
LINK:NOI2016循环之美 这道题是 给出n m k 求出\(1\leq i\leq n,1\leq j\leq m\) \(\frac{i}{j}\)在k进制下是一个纯循环的. 由于数值相同的 ...
- UOJ #221 【NOI2016】 循环之美
题目链接:循环之美 这道题感觉非常优美--能有一个这么优美的题面和较高的思维难度真的不容易-- 为了表示方便,让我先讲一下两个符号.\([a]\)表示如果\(a\)为真,那么返回\(1\),否则返回\ ...
- UOJ#221. 【NOI2016】循环之美 数论,杜教筛
原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ221.html 题解 首先把题目转化为求 \[\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^m [\gcd(x,y) = ...
- 并不对劲的bzoj4652:loj2085:uoj221:p1587:[NOI2016]循环之美
题目大意 对于已知的十进制数\(n\)和\(m\),在\(k\)进制下,有多少个数值上互不相等的纯循环小数,可以用\(x/y\)表示,其中 \(1\leq x\leq n,1\leq y\leq m\ ...
- [NOI2016]循环之美
Description 牛牛是一个热爱算法设计的高中生.在他设计的算法中,常常会使用带小数的数进行计算.牛牛认为,如果在 k 进制下,一个数的小数部分是纯循环的,那么它就是美的.现在,牛牛想知道:对 ...
随机推荐
- https域名强弱校验的区别
HttpsURLConnection.setDefaultHostnameVerifier( new HostnameVerifier(){ public boolean verify(String ...
- 2017“编程之美”终章:AI之战勇者为王
编者按:8月15日,第六届微软“编程之美”挑战赛在选手的火热比拼中圆满落下帷幕.“编程之美”挑战赛是由微软主办,面向高校学生开展的大型编程比赛.自2012年起,微软每年都在革新比赛命题.紧跟时代潮流, ...
- activeandroid复制本地数据库问题总结
activeandroid no such table 解决activeandroid no such table failed to read row 0 column 1 from a curso ...
- 解决因为手机设置字体大小导致h5页面在webview中变形的BUG
首先,我们做了一个H5页面,在各种手机浏览器中打开都没问题.我们采用了rem单位进行布局,通过JS来动态计算网页的视窗宽度,动态设置html的font-size,一切都比较完美. 这时候,你自信满满的 ...
- centos7设置sshd端口,firewall,selinux设置
https://blog.csdn.net/qq_31927797/article/details/81095829 #停止firewallsystemctl stop firewalld.servi ...
- Java中的线程--线程范围内共享数据
接着学习Java中的线程,线程范围内的共享数据! 一.线程范围内的数据共享定义 对于相同的程序代码,多个模块在同一个线程中共享一份数据,而在另外线程中运行时又共享另外一份数据. 共享数据中存在的问题, ...
- Alert and Action sheets and Timer and Animation
- Mac 电源管理
在安装BatteryManager后,可以删除NullPowerMananger,AppleIntelPowerMananger, AppleIntelPowerClientMananger三个kex ...
- (28)zabbix用户宏变量详解macro
zabbix宏变量让zabbix变得更灵活,变量可以定义在主机.模板以及全局,变量名称类似:{$MACRO},宏变量都是大写的.认识了宏变量,你会感叹zabbix越发的强大. 变量可以用于如下地方: ...
- GIMP用Path作画了解一下
先准备好Path的底稿,只是实验学到的东西,粗糙了点.Paint through the Path,顾名思义,就是沿着Path作画: 1/如果选择的是Stroke line,可以根据自己的喜好,调节S ...