【DP专辑】ACM动态规划总结

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动态规划一直是ACM竞赛中的重点，同一时候又是难点，由于该算法时间效率高，代码量少，多元性强，主要考察思维能力、建模抽象能力、灵活度。

本人动态规划博客地址：http://blog.csdn.net/cc_again/article/category/1261899

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动态规划（英语：Dynamic
programming，DP）是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。
动态规划经常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

动态规划背后的基本思想很easy。大致上，若要解一个给定问题，我们须要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。 通常很多子问题很相似，为此动态规划法试图只解决每一个子问题一次，从而降低计算量： 一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次须要同一个子问题解之时直接查表。
这样的做法在反复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别实用。

动态规划问题满足三大重要性质

最优子结构性质：假设问题的最优解所包括的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决这个问题提供了重要线索。

子问题重叠性质：子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这样的子问题的重叠性质，对每个子问题仅仅计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次须要计算已经计算过的子问题时，仅仅是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。

无后效性：将各阶段依照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它曾经各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而仅仅能通过当前的这个状态。换句话说，每一个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

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动态规划分类有非常多划分方法，网上有非常多是依照状态来分，分为一维、二维、区间、树形等等。我认为还是按功能即解决的问题的类型以及难易程度来分比較好，以下依照我自己的理解和归纳，把动态规划的分类例如以下：

一、简单基础dp

这类dp主要是一些状态比較easy表示，转移方程比較好想，问题比較基本常见的。主要包含递推、背包、LIS（最长递增序列），LCS（最长公共子序列），以下针对这几种类型，推荐一下比較好的学习资料和题目。

1、递推：

递推一般形式比較单一，从前往后，分类枚举即可。

简单:

hdu 2084 数塔 简单从上往下递推

hdu 2018 母牛的故事 简单递推计数

hdu 2044 一仅仅小蜜蜂... 简单递推计数（Fibonacci）

hdu 2041 超级楼梯 Fibonacci

hdu 2050 折线切割平面 找递推公式

推荐：

CF 429B B.Working out 四个角递推

zoj 3747 Attack on Titans 带限制条件的计数递推dp

uva 10328 Coin Toss 同上题

hdu 4747 Mex

hdu 4489 The King's Ups and Downs

hdu 4054 Number String

2、背包

经典的背包九讲：http://love-oriented.com/pack/

推荐博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7636866

主要有0-1背包、全然背包、分组背包、多重背包。

简单：

hdu 2955 Robberies 01背包

hdu 1864 最大报销额 01背包

hdu 2602 Bone Collector 01背包

hdu 2844 Coins 多重背包

hdu 2159 FATE 全然背包

推荐：

woj 1537 A Stone-I  转化成背包

woj 1538 B Stone-II 转化成背包

poj 1170 Shopping Offers 状压+背包

zoj 3769 Diablo III 带限制条件的背包

zoj 3638 Fruit Ninja背包的转化成组合数学

hdu 3092 Least common multiple 转化成全然背包问题

poj 1015 Jury Compromise 扩大区间+输出路径

poj 1112 Team Them UP 图论+背包

3、LIS

最长递增子序列，朴素的是o(n^2)算法，二分下能够写成o(nlgn)：维护一个当前最优的递增序列——找到恰好大于它更新

简单：

hdu 1003 Max Sum

hdu 1087 Super Jumping!

推荐：

uva 10635 Prince and Princess LCS转化成LIS

hdu 4352 XHXJ's LIS　数位dp+LIS思想

srm div2 1000 状态压缩+LIS

poj 1239 Increasing Sequence 两次dp

4、LCS

最长公共子序列，通常o(n^2)的算法

hdu 1503 Advanced Fruits

hdu 1159 Common Subsequence

uva 111 History Grading 要先排个序

poj 1080 Human Gene Functions

二、区间dp

推荐博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7969225

区间dp,通常是枚举区间，把区间分成左右两部分，然后求出左右区间再合并。

poj 1141 Brackets Sequence 括号匹配并输出方案

hdu 4745 Two Rabbits 转化成求回文串

zoj 3541 The Last Puzzle 贪心+区间dp

poj 2955 Brackets

hdu 4283 You Are the One  常见写法

hdu 2476 String Printer

zoj 3537 Cake

CF 149D Coloring Brackets

zoj 3469 Food Delivery

三、树形dp

比較好的博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7644959

一篇论文：http://doc.baidu.com/view/f3b19d0b79563c1ec5da710e.html

树形dp是建立在树这样的数据结构上的dp,一般状态比較好想，通过dfs维护从根到叶子或从叶子到根的状态转移。

hdu 4123 Bob's Race 二分+树形dp+单调队列

hdu 4514  求树的直径

poj 1655 Balancing Act

hdu 4714 Tree2Cycle 思维

hdu 4616 Game

hdu 4126 Genghis Kehan the Conqueror MST+树形dp 比較经典

hdu 4756 Install Air Conditioning MST+树形dp 同上

hdu 3660 Alice and Bob's Trip 有点像对抗搜索

CF 337D Book of Evil 树直径的思想 思维

hdu 2196 Computer 搜两遍

四、数位dp

推荐一篇论文：http://wenku.baidu.com/view/d2414ffe04a1b0717fd5dda8.html

数位dp,主要用来解决统计满足某类特殊关系或有某些特点的区间内的数的个数，它是按位来进行计数统计的，能够保存子状态，速度较快。数位dp做多了后，套路基本上都差点儿相同，关键把要保存的状态给抽象出来，保存下来。

hdu 2089 不要62 简单数位dp

hdu 3709 Balanced Number 比較简单

CF 401D Roman and Numbers 状压+数位dp

hdu 4398 X mod f(x) 把模数加进状态里面

hdu 4734 F(x) 简单数位dp

hdu 3693 Math teacher's homework 思维变换的数位dp

hdu 4352 XHXJ's LIS　数位dp+LIS思想

CF 55D Beautiful Numbers  比較巧妙的数位dp

hdu 3565 Bi-peak Numbers 比較难想

CF 258B Little Elephant and Elections 数位dp+组合数学+逆元

五、概率(期望) dp

推荐博客：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/10/02/2710606.html

推荐博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7912049

推荐论文：

《走进概率的世界》

《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》

《有关概率和期望问题的研究》

一般来说概率正着推，期望逆着推。有环的一般要用到高斯消元解方程。期望能够分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即 E(aA+bB+...) = aE(A) + bE(B) +... 

ural 1776 Anniversiry Firework 比較基础

hdu 4418 Time travel 比較经典BFS+概率dp+高斯消元

hdu 4586 Play the Dice 推公式比較水

hdu 4487 Maximum Random Walk

jobdu 1546 迷宫问题 高斯消元+概率dp+BFS预处理

hdu 3853 LOOPS 简单概率dp

hdu 4405 Aeroplane chess 简单概率dp,比較直接

hdu 4089 Activation 比較经典

poj 2096 Collecting Bugs 题目比較难读懂

zoj 3640 Help me Escape 从后往前，比較简单

hdu 4034 Maze 经典好题，借助树的概率dp

hdu 4336 Card Collector 状态压缩+概率dp

hdu 4326 Game 这个题状态有点难抽象

六、状态压缩dp

这类问题有TSP、插头dp等。

推荐论文：http://wenku.baidu.com/view/ce445e4f767f5acfa1c7cd51.html

推荐博客：http://blog.csdn.net/sf____/article/details/15026397

推荐博客：http://www.notonlysuccess.com/index.php/plug_dp/

hdu 1693 Eat the Trees  插头dp

hdu 4568 Hunter 最短路+TSP

hdu 4539 插头dp

hdu 4529 状压dp

poj 1185 炮兵阵地

poj 2411 Mandriann's Dream 轮廓线dp

hdu 3811 Permutation

poj 1038

poj 2441

hdu 2167

hdu 4026

hdu 4281

七、数据结构优化的dp

有时虽然状态找好了，转移方程的想好了，但时间复杂度比較大，须要用数据结构进行优化。常见的优化有二进制优化、单调队列优化、斜率优化、四边形不等式优化等。

1、二进制优化

主要是优化背包问题，背包九讲里面有介绍，比較简单，这里仅仅附上几道题目。

hdu 1059 Diving

hdu 1171 Big Event in Hdu

poj 1048 Follow My Magic

2、单调队列优化

推荐论文：http://wenku.baidu.com/view/4d23b4d128ea81c758f578ae.html

推荐博客：http://www.cnblogs.com/neverforget/archive/2011/10/13/ll.html

hdu 3401 Trade

poj 3245 Sequece Partitioning 二分+单调队列优化

3、斜率优化

推荐论文：用单调性优化动态规划

推荐博客：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/02/05/1949278.html

hdu 3507 Print Article

poj 1260 Pearls

hdu 2829 Lawrence

hdu 2993 Max Average Problem

4、四边形不等式优化

推荐博客：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/03/30/1999764.html

推荐博客：http://www.cnblogs.com/zxndgv/archive/2011/08/02/2125242.html

hdu 2952 Counting Sheep

poj 1160 Post Office

hdu 3480 Division

hdu 3516 Tree Construction

hdu 2829 Lawrence