RMQ问题是求解区间最值的问题。

这里分析的是ST算法,它可以对所有要处理的数据做到O(nlogn)的预处理,对每个区间查询做到O(1)查询

ST算法本质是一个DP的过程

这里通过举一个求最大值实例来理解ST算法:

我们有这样一串数字

数值:35 13 65 99 88 75 64 51 42  55 66 83 12 44 65 12

位置:1    2  3   4   5   6   7    8   9  10 11 12 13 14 15 16

首先我们定义一个dp表达式:st[i][j]表示从i位置开始的2^j个数中的最大值;

具体解释:st[1][0]就是从第一个数字开始的一个数里的最大值,也就是第一个数本身,即st[1][0]=35;

             st[2][2]就是从第二个数字开始的四个数里的最大值,也就是13,65,99,88里面的最大值,即st[2][2]=99;

     以此类推

  然后我们来看怎么用dp的思想来解决这个问题

  回到刚刚的实例,我们由我们所定义的st式可以得知st[5][3]是[88,75,64,51,42,55,66,83]中的最大值。

  现在我们来试着用dp的思想,也就是将整体化为部分求解的思想。

  要求前面st[5][3]所代表区间的最大值,也就是求[88,75,64,51]和[42,55,66,83]两个区间的最大值中的较大值,即st[5][2]和st[9][2]

而这样的划分是一个二分划分,根据这种思想我们可以类推出,求i至其后2^j个数的最大值,即把2^j分成前后两个2^(j-1),分别取最大值,再通过比较获得此状态最大值。

到此我们可以得出我们的dp表达式:st[i][j] = max( st[i][j-1],st[i+2^(j-1)][j-1] )

通过这种方法我们可以求出一段段区间的最大值

求ST表代码

void cal_st( int n, int a[] ) {  //n为区间元素个数,a数组存的是区间里的元素
for( int i = 1; i <= n; i ++ ) {
st[i][0] = a[i];
}
for( int j = 1; j <= log2(n); j ++ ) {
for( int i = 1; i <= n-(1<<j)+1; i ++ ) {
st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}

  

  

接下来让我们回到RMQ问题:

  我们可以知道,任意的i至j之间的j-i+1个连续的值,一定可以分为两个2^n个数的两个区间

  比如求3到11之间的最大值;

  因为3到11之间有9个元素,最大可以成8个元素大小的区间;

  所以我们可以将其分为[3,10]和[4,11]两个区间;(分成的两个区间一个是从开头取八个,一个是从最后往前取八个)

  然后通过求这两个区间最大值中的较大值得到3到11之间的最大值

抽象成一个广义数学问题:

  求[i,j]区间最大值;

  num = j-i+1; p = 2^((int)(log2(num)));

  rmq(i,j) = max( st[i][p], st[i-2^p+1][p] )

  num:[i,j]区间元素个数,p:[i,j]区间可以连续分成的最大2^n区间的大小

  rmq(i,j):查询[i,j]区间最大值

rmq查询代码:

int rmq( int le, int ri ) {  //le为查询区间开始位置,ri为查询区间结束位置
int p = log2(ri-le+1);
return max(st[le][p],st[ri-(1<<p)+1][p]);
}

  

参考博客:https://blog.csdn.net/z287438743z/article/details/8132806

例题:洛谷P3865

题目背景

这是一道ST表经典题——静态区间最大值

请注意最大数据时限只有0.8s,数据强度不低,请务必保证你的每次查询复杂度为 O(1)

题目描述

给定一个长度为 N 的数列,和 M 次询问,求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入输出格式

输入格式:

第一行包含两个整数 N, M ,分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 N个整数(记为 ai​ ),依次表示数列的第 i 项。

接下来 M 行,每行包含两个整数 li​,ri​ ,表示查询的区间为[li​,ri​]

输出格式:

输出包含 M 行,每行一个整数,依次表示每一次询问的结果。

输入输出样例

输入样例

8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
1 5
2 7
2 6
1 8
4 8
3 7
1 8
输出样例

9
9
7
7
9
8
7
9

说明

对于30%的数据,满足:1≤N,M≤10

对于70%的数据,满足: 1≤N,M≤105

对于100%的数据,满足: 1≤N≤105,1≤M≤106,ai​∈[0,10^9],1≤li​≤ri​≤N

分析:一个st表的模板题

  st[i][j]表示以第i个数为首的一共2^j个数的最大值

  ai表示原数列

可以得到:

if( j == 1 ) {
st[i][j] = a[i]
} else {
st[i][j] = max( st[i][j-1], st[i+(1<<(j-1))][j-1] );
}

  

AC代码:

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls (r<<1)
#define rs (r<<1|1)
#define debug(a) cout << #a << " " << a << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e5+10;
const ll mod = 998244353;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
ll st[maxn][20]; //ll表示long long,个人习惯整数定义成long long
void cal_st( ll n, ll a[] ) {
for( ll i = 1; i <= n; i ++ ) {
st[i][0] = a[i];
}
for( ll j = 1; j <= log2(n); j ++ ) {
for( ll i = 1; i <= n-(1<<j)+1; i ++ ) {
st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
} ll rmq( ll le, ll ri ) {
ll p = log2(ri-le+1);
return max(st[le][p],st[ri-(1<<p)+1][p]);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
ll n, t, a[maxn];
scanf("%lld%lld",&n,&t);
for( ll i = 1; i <= n; i ++ ) {
scanf("%lld",&a[i]);
}
cal_st(n,a);
while( t -- ) {
ll le, ri;
scanf("%lld%lld",&le,&ri);
printf("%lld\n",rmq(le,ri));
}
return 0;
}

  

  

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