[转] 从零推导支持向量机 (SVM)

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摘要

支持向量机 (SVM) 是一个非常经典且高效的分类模型。但是，支持向量机中涉及许多复杂的数学推导，并需要比较强的凸优化基础，使得有些初学者虽下大量时间和精力研读，但仍一头雾水，最终对其望而却步。本文旨在从零构建支持向量机，涵盖从思想到形式化，再简化，最后实现的完整过程，并展现其完整思想脉络和所有公式推导细节。本文力图做到逻辑清晰而删繁就简，避免引入不必要的概念、记号等。此外，本文并不需要读者有凸优化的基础，以减轻读者的负担。对于用到的优化技术，在文中均有介绍。

尽管现在深度学习十分流行，了解支持向量机的原理，对想法的形式化、简化，及一步步使模型更一般化的过程，及其具体实现仍然有其研究价值。另一方面，支持向量机仍有其一席之地。相比深度神经网络，支持向量机特别擅长于特征维数多于样本数的情况，而小样本学习至今仍是深度学习的一大难题。

线性二分类模型

线性二分类模型

给定一组数据 \(\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)\}\)，其中 \(x_i \in \mathbb{R}^d, y \in \{-1, 1\}\)，二分类任务的目标是希望从数据中学得一个假设函数 \(h: \mathbb{R} \to \{-1, 1\}\)，使得 \(h(x_i)=y_i\)，即：

\(\begin{align}h(x_i)=\begin{cases} 1 & \text{若 }y_i=1; \\ -1 & \text{若 }y_i=-1. \\\end{cases}\end{align}\)

用一个更简洁的形式表示是：

\(\begin{align} \forall_{i.}\;\; y_ih(x_i)=1\end{align}\)

更进一步，线性二分类模型认为假设函数的形式是基于对特征 \(x_i\) 的线性组合，即:

\(\begin{align}h(x_i) := \mathrm{sign}(w^T x_i + b), \text{ 其中 } w_i \in \mathbb{R}^d,b \in \mathbb{R}.\end{align}\)

定理 1

线性二分类模型的目标是找到一组合适的参数 \((w, b)\)，使得

\(\begin{align} \forall_{i.} \;\; y_i(w^T x_i + b) > 0 \end{align}\)

即，线性二分类模型希望在特征空间找到一个划分超平面，将属于不同标记的样本分开。

证明：

\(\begin{align} y_i h(x_i) = 1 \Leftrightarrow y_i \mathrm{sign}(w^T x_i + b) = 1 \Leftrightarrow y_i(w^T x_i + b) > 0 \end{align}\)

线性支持向量机

线性支持向量机 (SVM) [4]也是一种线性二分类模型，也需要找到满足定理 1 约束的划分超平面，即 \((w, b)\)。由于能将样本分开的超平面可能有很多，SVM 进一步希望找到离各样本都比较远的划分超平面。

当面对对样本的随机扰动时，离各样本都比较远的划分超平面对扰动的容忍能力比较强，即不容易因为样 本的随机扰动使样本穿越到划分超平面的另外一侧而产生分类错误。因此，这样的划分超平面对样本比较稳健，不容易过拟合。另一方面，离各样本都比较远的划分超平面不仅可以把正负样本分开，还可以以比较大的确信度将所有样本分开，包括难分的样本，即离划分超平面近的样本。

间隔

在支持向量机中，我们用间隔 (margin) 刻画划分超平面与样本之间的距离。在引入间隔之前，我们需要 先知道如何计算空间中点到平面的距离。

引理 2

\(\mathbb{R}^d\) 空间中某点 \(p \in \mathbb{R}^d\) 到超平面 \(w^{\top}x + b=0\) 的距离为

\(\begin{align} \frac{1}{||w||} | w^{\top} p + b |\end{align}\)

证明. 假设 \(x_1, x_2\) 是该超平面上两点， 则

\(\begin{align} w^{\top}(x_1-x_2) = w^{\top}x_1-w^{\top}x_2=(-b)-(-b)=0,\end{align}\)

即 \(w \perp (x_1 - x_2)\). 又因为 \(x_1-x_2\) 与该超平面平行，则 \(w\) 与该超平面垂直. 点\(p\) 到该超平面的距离等于 \(p\) 与超平面上某点 \(x\) 连线向超平面法向量（即，\(w\)）的投影：

\(\begin{align} \mathrm{proj}_w(p-x) &= ||p-x|| \cdot |\cos (w, p - x)| \nonumber\\ &= ||p-x|| \cdot \frac{|w^{\top}(p-x)|}{||w|| \cdot ||p-x||} \nonumber \\ &= \frac{1}{||w||} |w^{\top}p - w^{\top}x| \nonumber \\ &= \frac{1}{||w||} | w^{\top}p + b | \end{align}\)

定义 1 (间隔 \(\gamma\) )

间隔表示距离划分超平面最近的样本到划分超平面距离的两倍，即

\(\gamma := 2 \; \underset{i}{\mathrm{min}} \frac{1}{||w||} | w^{\top} x_i + b |\)

也就是说，间隔表示划分超平面到属于不同标记的最近样本的距离之和。

定理 3

线性支持向量机的目标是找到一组合适的参数(w, b)，使得

\(\begin{align} & \underset{w,b}{\mathrm{max}} \;\; \underset{i}{\mathrm{min}} \;\; \frac{2}{||w||} | w^{\top} x_i + b |, \\ & \;\;\;\; s.t. \;\;y_i(w^{\top}x_i + b) > 0, \; i = 1,2,...,m. \nonumber \end{align}\)

即，线性支持向量机希望在特征空间找到一个划分超平面，将属于不同标记的样本分开，并且该划分超平面距离各样本最远。

证明. 带入间隔定义即得。

线性支持向量机基本型

定理 3 描述的优化问题十分复杂，难以处理。为了能在现实中应用，我们希望能对其做一些简化，使其变 为可以求解的、经典的凸二次规划 (QP) 问题。

定义 2 (凸二次规划).

凸二次规划的优化问题是指目标函数是凸二次函数，约束是线性约束的一类优化问题。

\[
\begin{align}
& \underset{u}{\mathrm{min}} \;\; \frac{1}{2} u^{\top}Qu+t^{\top}u \\
& \mathrm{s.t.} \;\; c_i^{\top} u \geq d_i, \; i = 1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

引理 4

若 \((w^*, b^*)\) 是定理 3 优化问题的解，那么对任意 \(r > 0, (rw^*, rb^*)\) 仍是该优化问题的解.

证明.

\[
\begin{align}
\frac{2}{||rw^*||} | (rw^*)^{\top} x_i + rb^* | = \frac{2}{||w^*||} | w^{*\top} x_i + b^* |, \\
y_i \big( (rw^*)^{\top} x_i + rb^* \big) > 0 \Leftrightarrow y_i (w^{*\top} x_i + b^*)>0.
\end{align}
\]

由于对 (w, b) 的放缩不影响解，为了简化优化问题，我们约束 (w, b) 使得

\[
\begin{align}
\underset{i}{\mathrm{min}} \; | w^{\top} x_i + b | = 1.
\end{align}
\]

定理 5（线性支持向量机基本型）

定理 3 描述的线性支持向量机的优化问题等价于找到一组合适的参数 \((w, b)\), 使得

\[
\begin{align}
& \underset{w, b}{\mathrm{min}} \;\; \frac{1}{2} w^{\top} w \\
& \mathrm{s.t.} \;\; y_i (w^{\top} x_i +b ) \geq 1, \; i = 1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

证明.

对约束项，我们采用反证法。假设最优值 \((w^*, b^*)\) 处等号不成立，即 \(\underset{i}{\mathrm{min}} \; y_i (w^{*\top} x_i + b^*) > 1\). 此时存在 \((rw, rb)\)，其中 \(0<r<1\)，使得 \(\underset{i}{\mathrm{min}} \; y_i \big((rw)^{\top} x_i + rb \big) = 1\)，且 \(\frac{1}{2} ||rw||^2 < \frac{1}{2}||w||^2\)。说明 \((w^*, r^*)\) 不是最优值，与假设矛盾。因此，公式 14 等价于

\[
\begin{align}
& \underset{w, b}{\mathrm{min}} \;\; \frac{1}{2} w^{\top} w \\
& \mathrm{s.t.} \;\; \underset{i}{\mathrm{min}} \;\; y_i (w^{\top} x_i +b ) = 1. \nonumber
\end{align}
\]

优化目标等价于

\[
\begin{align}
\underset{w, b}{\mathrm{argmin}} \;\; \frac{1}{2} w^{\top} w
& = \underset{w, b}{\mathrm{argmin}} \;\; \frac{1}{2} ||w|| \nonumber\\
& = \underset{w, b}{\mathrm{argmax}} \;\; \frac{2}{||w||} \cdot 1 \nonumber\\
& = \underset{w, b}{\mathrm{argmax}} \;\; \Big( \underset{i}{\mathrm{min}} \; \frac{2}{||w||} y_i (w^{\top} x_i + b) \Big) \nonumber\\
& = \underset{w, b}{\mathrm{argmax}} \;\; \Big( \underset{i}{\mathrm{min}} \; \frac{2}{||w||} |w^{\top} x_i + b| \Big)
\end{align}
\]

推论 6

线性支持向量机基本型中描述的优化问题属于二次规划问题，包括 d + 1 个优化变量，m 项约束。

证明. 令

\[
\begin{align}
u := \begin{bmatrix} w \\ b \end{bmatrix}, Q := \begin{bmatrix} I&0\\0&0 \end{bmatrix}, t := 0, \\
c_i := y_i \begin{bmatrix} x_i \\ 1 \end{bmatrix}, d_i := 1,
\end{align}
\]

代入公式 10 即得。

对偶问题

现在，我们可以通过调用现成的凸二次规划软件包来求解定理 5 描述的优化问题。不过，通过借助拉格朗 日 (Lagrange) 函数和对偶 (dual) 问题，我们可以将问题更加简化。

拉格朗日函数与对偶形式

构造拉格朗日函数是求解带约束优化问题的重要方法。

定义 3（拉格朗日函数）

对于优化问题

\[
\begin{align}
\underset{u}{\mathrm{min}} &\;\; f(u) &\\
\mathrm{s.t.} &\;\; g_i (u) \leq 0, &i = 1,2,...,m, \nonumber\\
& \;\; h_j (u) = 0, &j = 1,2,...,n, \nonumber
\end{align}
\]

定义其拉格朗日函数为

\[
\begin{align}
\mathcal{L}(u,\alpha,\beta) := f(u) + \sum\limits_{i=1}^{m} \alpha_i g_i (u) + \sum\limits_{j=1}^{n} \beta_j h_j (u)
\end{align}
\]

其中 \(\alpha_i \geq 0\).

引理 7

公式 19 描述的优化问题等价于

\[
\begin{align}
\underset{u}{\mathrm{min}} \;\; \underset{\alpha, \beta}{\mathrm{max}} \;\;& \mathcal{L} (u, \alpha, \beta) \\
\mathrm{s.t.} \;\;\;\;\;\;& \alpha_i \geq 0, \;\; i = 1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

证明.

\[
\begin{align}
& \underset{u}{\mathrm{min}} \;\; \underset{\alpha, \beta}{\mathrm{max}} \;\; \mathcal{L} (u, \alpha, \beta) \nonumber \\
= & \underset{u}{\mathrm{min}} \Bigg( f(u) + \underset{\alpha, \beta}{\mathrm{max}} \Big( \sum\limits_{i=1}^{m} \alpha_i g_i (u) + \sum\limits_{j=1}^{n} \beta_j h_j (u) \Big)\Bigg) \nonumber \\
= & \underset{u}{\mathrm{min}} \Bigg( f(u) + \begin{cases} 0 & \text{若 } u \text{ 满足约束；} \\ \infty & \text{否则} \end{cases} \Bigg) \nonumber \\
= & \underset{u}{\mathrm{min}} \; f(u), \text{ 且 } u \text{ 满足约束，}
\end{align}
\]

其中

• 当 \(g_i\) 不满足约束时，即 \(g_i(u) >0\)，我们可以取 \(\alpha_i = \infty\)，使得 \(\alpha_i g_i (u) = \infty\)；
• 当 \(h_j\) 不满足约束时，即 \(h_j(u) \neq 0\)，我们可以取 \(\beta_j = \mathrm{sign} (h_j (u))\infty\)，使得 \(\beta_j h_j (u) = \infty\)。
• 当 \(u\) 满足约束时，由于 \(\alpha_i \geq 0,\; g_i(u) \leq 0\)，则 \(\alpha_i g_i (u) \leq 0\)。因此 \(\alpha_i g_i (u)\) 最大值为 0.

推论 8 (KKT 条件)

公式 21 描述的优化问题在最优值处必须满足如下条件。

• 主问题可行：\(g_i (u) \leq 0, h_i (u) = 0\);
• 对偶问题可行：\(\alpha_i \geq 0\);
• 互补松弛（complementary slackness）：\(\alpha_i g_i (u) = 0\).

证明. 由引理 7 可知，u 必须满足约束，即主问题可行。对偶问题可行是公式 21 描述的优化问题的约束项。αigi(u) = 0 是在主问题和对偶问题都可行的条件下的最大值。

定义 4 (对偶问题).

定义公式 19 描述的优化问题的对偶问题为

\[
\begin{align}
\underset{\alpha, \beta}{\mathrm{max}} \;\; \underset{u}{\mathrm{min}} \;\;& \mathcal{L} (u, \alpha, \beta) \\
\mathrm{s.t.} \;\;\;\;\;\;& \alpha_i \geq 0, \;\; i = 1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

引理 9. 对偶问题是主（primal）问题的下界

即

\[
\begin{align}
\underset{\alpha, \beta}{\mathrm{max}} \;\; \underset{u}{\mathrm{min}} \;\; \mathcal{L} (u, \alpha, \beta) \;\; \leq \;\; \underset{u}{\mathrm{min}} \;\; \underset{\alpha, \beta}{\mathrm{max}} \;\; \mathcal{L} (u, \alpha, \beta)
\end{align}
\]

证明.

对任意 \((\alpha^{'},\beta^{'}),\; \underset{u}{\mathrm{min}} \; \mathcal{L} (u,\alpha^{'}, \beta^{'}) \leq \underset{u}{\mathrm{min}} \; \underset{\alpha,\beta}{\mathrm{max}} \; \mathcal{L} (u,\alpha, \beta)\)。
当 \((\alpha^{'},\beta^{'}) = \underset{\alpha^{'},\beta^{'}}{\mathrm{max}} \; \underset{u}{\mathrm{min}}\; \mathcal{L} (u,\alpha^{'}, \beta^{'})\) 时，
该式仍然成立，即 \(\underset{\alpha^{'},\beta^{'}}{\mathrm{max}}\; \underset{u}{\mathrm{min}}\; \mathcal{L} (u,\alpha^{'}, \beta^{'}) \leq \underset{u}{\mathrm{min}}\; \underset{\alpha,\beta}{\mathrm{max}}\; \mathcal{L} (u,\alpha, \beta)\)。

引理 10 (\(Slater\) 条件).

当主问题为凸优化问题，即 \(f\) 和 \(g_i\) 为凸函数，\(h_j\) 为仿射函数，且可行域中至少有一点使不等式约束严格成立时，对偶问题等价于原问题。

证明. 此证明已超出本文范围，感兴趣的读者可参考 [2]。

推论 11 线性支持向量机满足 \(Slater\) 条件.

证明. \(\frac{1}{2} w^{\top} w\) 和 \(1 - y_i (w^{\top} x_i + b)\) 均为凸函数.

线性支持向量机对偶型

线性支持向量机的拉格朗日函数为

\[
\begin{align}
\mathcal{L}(w,b,\alpha) := \frac{1}{2}w^{\top}w + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \big(1-
y_i (w^{\top} x_i + b) \big)
\end{align}
\]

其对偶问题为

\[
\begin{align}
\underset{\alpha}{\mathrm{max}} \; \underset{w,b}{\mathrm{min}} \; & \frac{1}{2}w^{\top}w + \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \big(1- y_i (w^{\top} x_i + b) \big) \\
\mathrm{s.t.} \;\;\;\;\;\; & \alpha_i \geq 0, \; i = 1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

定理 12（线性支持向量机对偶型）

线性支持向量机的对偶问题等价于找到一组合适的参数 \(\alpha\)，使得

\[
\begin{align}
\underset{\alpha}{\mathrm{min}} \;\; & \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_i \alpha_j y_i y_j x_i^{\top} x_j - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\
\mathrm{s.t.} \;\;\; & \sum\limits_{i=1}^{m} \alpha_i y_i = 0, \nonumber \\
& \alpha_i \geq 0, \; i = 1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

证明. 因为公式 26 内层对 (w,b) 的优化属于无约束优化问题，我们可以通过令偏导等于零的方法得到 (w,b)的最优值。

\[
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w} = 0 \Leftrightarrow & w = \sum\limits_{i=1}^{m} \alpha_i y_i x_i, \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b} = 0 \Leftrightarrow & \sum\limits_{i=1}^{m} \alpha_i y_i.
\end{align}
\]

将其代入公式 26，消去 (w, b)，即得。

推论 13. 线性支持向量机对偶型中描述的优化问题属于二次规划问题，包括 \(m\) 个优化变量，\(m + 2\) 项约束。

证明. 令

\[
\begin{align}
& u:=\alpha,\;\mathcal{Q}:=[y_i y_j x_i^{\top} x_j]_{m \times m},\;t:=-1,\\
& c_i:=e_i,\;d_i:=0,\; i=1,2,...,m,\\
& c_{m+1}:=[y_1\;y_2\; \cdots \; y_m]^{\top} , \; d_{m+1}:=0,\\
& c_{m+2}:=-[y_1\;y_2\; \cdots \; y_m]^{\top}, \; d_{m+2}:=0,
\end{align}
\]

代入公式 10 即得。

其中，\(e_i\) 是第 \(i\) 位置元素为 1，其余位置元素为 0 的单位向量。
我们需要通过两个不等式约束 \(c^T_{m+1}u \leq d_{m+1}\) 和 \(c^T_{m+2}u \leq d_{m+2}\) 来得到一个等式约束。

支持向量

定理 14 (线性支持向量机的 KKT 条件)

线性支持向量机的 KKT 条件如下。

• 主问题可行：\(1-y_i(w^{\top}x_i + b) \leq 0\);
• 对偶问题可行：\(\alpha_i \geq 0\);
• 互补松弛：\(\alpha_i\big(1-y_i(w^{\top}x_i + b)\big) = 0\).

证明. 令

\[
\begin{align}
u:=\begin{bmatrix} w \\ b \end{bmatrix}, \;\; g_i(u):= 1-y_i {\begin{bmatrix} x_i \\ 1 \end{bmatrix}}^{\top} u,
\end{align}
\]

代入引理 8 即得。

定义 5 (支持向量)

对偶变量 \(\alpha_i > 0\) 对应的样本。

引理 15. 线性支持向量机中，支持向量是距离划分超平面最近的样本，落在最大间隔边界上。

证明. 由线性支持向量机的 KKT 条件可知，\(\alpha_i\big(1-y_i(w^{\top}x_i + b)\big)=0\)。当 \(\alpha_i > 0\) 时，\(1-y_i(w^{\top}x_i + b)=0\)。即 \(y_i(w^{\top}x_i + b)=1\)。

定理 16. 支持向量机的参数 \((w, b)\) 仅由支持向量决定，与其他样本无关。

证明. 由于对偶变量 \(\alpha_i > 0\) 对应的样本是支持向量，

\[
\begin{align}
w = & \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i y_i x_i \nonumber \\
= & \sum\limits_{i:\;\alpha_i = 0}^{m} 0 \cdot y_i x_i + \sum\limits_{i:\;\alpha_i>0}^{m}\alpha_i y_i x_i \nonumber \\
= & \sum\limits_{i \in SV}^{}\alpha_i y_i x_i,
\end{align}
\]

其中 SV 代表所有支持向量的集合，\(b\) 可以由互补松弛算出。对于某一支持向量 \(x_s\) 及其标记 \(y_s\)，由于

\[
\begin{align}
& y_s(w^{\top} x_s + b) = 1, \text{ 则} \nonumber \\
& b = y_s - w^{\top} x_s = y_s - \sum\limits_{i \in SV} \alpha_i y_i x_i^{\top} x_s.
\end{align}
\]

实践中，为了得到对 \(b\) 更稳健的估计，通常使用对所有支持向量求解得到 \(b\) 的平均值。

推论 17.

线性支持向量机的假设函数可表示为

\[
\begin{align}
h(x) = \mathrm{sign} \Big( \sum\limits_{i \in SV} \alpha_i y_i x_i^{\top} x + b \Big).
\end{align}
\]

证明. 代入公式 35 即得。

核函数

至此，我们都是假设训练样本是线性可分的。即，存在一个划分超平面能将属于不同标记的训练样本分开。但在很多任务中，这样的划分超平面是不存在的。支持向量机通过核技巧 (kernel trick) 来解决样本不是线性可分的情况 [1]。

非线性可分问题

既然在原始的特征空间 \(\mathbb{R}^d\) 不是线性可分的，支持向量机希望通过一个映射 \(\phi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^\tilde{d}\)，使得数据在新的空间 \(\mathbb{R}^\tilde{d}\) 是线性可分的。

引理 18

当 \(d\) 有限时，一定存在 \(\tilde{d}\)，使得样本在空间 \(\mathbb{R}^\tilde{d}\) 中线性可分.

证明. 此证明已超出本文范围，感兴趣的读者可参考计算学习理论中打散 (shatter) 的相应部分 [16]。

令 \(\phi (x)\) 代表将样本 \(x\) 映射到 \(\mathbb{R}^\tilde{d}\) 中的特征向量，参数 \(w\) 的维数也要相应变为 \(\tilde{d}\) 维，则支持向量机的基本型和对偶型相应变为：

\[
\begin{align}
\underset{w,b}{\mathrm{min}} \;\; & \frac{1}{2} w^{\top} w \\
\mathrm{s.t.} \;\; & y_i(w^{\top}\phi(x_i) + b)\geq1,\;i=1,2,...,m; \nonumber \\ \nonumber \\ \nonumber \\
\underset{\alpha}{\mathrm{min}} \;\; & \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{m}\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^{\top}\phi(x_j)-\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\
\mathrm{s.t.} \;\; & \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i = 0, \nonumber \\
&\alpha_i \geq 0, \; i=1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

其中，基本型对应于 \(\tilde{d} + 1\) 个优化变量，\(m\) 项约束的二次规划问题；对偶型对应于 \(m\) 个优化变量，\(m + 2\) 项约束的二次规划问题。

核技巧

注意到，在支持向量机的对偶型中，被映射到高维的特征向量总是以成对内积的形式存在，即 \(\phi (x_i)^T \phi (x_j)\) 如果先计算特征在空间 \(\mathbb{R}^{\tilde{d}}\) 的映射，再计算内积，复杂度是 \(\mathcal{O}(\tilde{d})\) 。当特征被映射到非常高维的空间，甚至是无穷维空间时，这将会是沉重的存储和计算负担。

核技巧旨在将特征映射和内积这两步运算压缩为一步, 并且使复杂度由 \(\mathcal{O}(\tilde{d})\) 降为 \(\mathcal{O}(d)\)。即，核技巧希望构造一个核函数 \(\kappa(x_i, x_j)\)，使得

\(\begin{align}\kappa(x_i, x_j)=\phi (x_i)^T \phi (x_j),\end{align}\)

并且 \(\kappa(x_i, x_j)\) 的计算复杂度是 \(\mathcal{O}(d)\)。

引理 19

映射

\[
\begin{align}
\phi : x \mapsto exp(-x^2) \begin{bmatrix} 1\\ \sqrt{\frac{2}{1}}x \\ \sqrt{\frac{2^2}{2!}}x^2 \\ \vdots \end{bmatrix}
\end{align}
\]

对应于核函数

\[
\begin{align}
\kappa(x_i,x_j):=exp\Big(-(x_i - x_j)^2\Big).
\end{align}
\]

证明.

\[
\begin{align}
\kappa(x_i,x_j)
&= exp\Big(-(x_i - x_j)^2\Big) \nonumber \\
&= exp(-x_i^2)exp(-x_j^2)exp(2x_ix_j) \nonumber \\
&= exp(-x_i^2)exp(-x_j^2)\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(2x_ix_j)^k}{k!} \nonumber \\
&= \sum\limits_{k=0}^{\infty}\Bigg(exp(-x_i^2)\sqrt{\frac{2^k}{k!}}x_i^k\Bigg)\Bigg(exp(-x_j^2)\sqrt{\frac{2^k}{k!}}x_j^k\Bigg) \nonumber \\
&= \phi(x_i)^{\top}\phi(x_j).
\end{align}
\]

核函数选择

通过向高维空间映射及核技巧，我们可以高效地解决样本非线性可分问题。但面对一个现实任务，我们很 难知道应该具体向什么样的高维空间映射，即应该选什么样的核函数，而核函数选择的适合与否直接决定整体的性能。

表 1 列出了几种常用的核函数。通常，当特征维数 \(d\) 超过样本数 \(m\) 时 (文本分类问题通常是这种情况)，使用线性核；当特征维数 \(d\) 比较小，样本数 \(m\) 中等时，使用 RBF 核；当特征维数 \(d\) 比较小，样本数 \(m\) 特别大时，支持向量机性能通常不如深度神经网络。

除此之外，用户还可以根据需要自定义核函数，但需要满足 Mercer 条件 [5]。

定理 20（Mercer 条件）

核函数 \(\kappa(x_i,x_j)\) 对应的矩阵

\[
\begin{align}
K := [\kappa(x_i,x_j)]_{m \times m}
\end{align}
\]

是半正定的，反之亦然。

证明. 因为核函数可表示为两向量内积：\(K_{ij}=\kappa(x_i,x_j)=\phi(x_i)^{\top}\phi(x_j)\)，令

\[
\begin{align}
\Phi:=[\phi(x_1)\;\phi(x_2)\;\ldots\;\phi(x_m)] \in \mathbb{R}^{\tilde{d} \times m},
\end{align}
\]

则 \(K=\Phi^{\top}\Phi\)，对任意非零向量 \(a\)，

\[
\begin{align}
a^{\top}Ka=a^{\top}\Phi^{\top}\Phi a=(\Phi a)^{\top}(\Phi a) = ||\Phi a||^2 \geq 0.
\end{align}
\]

反之亦然。

新的核函数还可以通过现有核函数的组合得到，使用多个核函数的凸组合是多核学习 [9] 的研究内容。

引理 21

若 \(\kappa(x_i,x_j)\) 是核函数，那么下列函数也是核函数

\[
\begin{align}
c_1 \kappa_1(x_i,x_j)+c_2\kappa_2(x_i,x_j),\;c_1,c_2>0,\\
\kappa_1(x_i,x_j)\kappa_2(x_i,x_j),\\
f(x_1)\kappa_1(x_i,x_j)f(x_2).
\end{align}
\]

证明. 因为核函数可表示为两向量内积：\(\kappa(x_i,x_j)=\phi(x_i)^{\top}\phi(x_j)\)，

\[
\begin{align}
c_1 \kappa_1(x_i,x_j)+c_2 \kappa_2 (x_i,x_j) = {\begin{bmatrix} \sqrt{c_1}\phi_1(x_i) \\ \sqrt{c_2}\phi_2(x_i) \end{bmatrix}}^{\top} \begin{bmatrix} \sqrt{c_1}\phi_1(x_i) \\ \sqrt{c_2}\phi_2(x_i) \end{bmatrix}\\
\kappa_1(x_i,x_j)\kappa_2(x_i,x_j)=\mathrm{vec}\big(\phi_1(x_i)\phi_2(x_i)^{\top}\big)^{\top}\mathrm{vec}\big(\phi_1(x_j)\phi_2(x_j)^{\top}\big),\\
f(x_1)\kappa_1(x_i,x_j)f(x_2)=\big(f(x_i)\phi(x_i)\big)^{\top}\big(f(x_j)\phi(x_j)\big).
\end{align}
\]

核方法

上述核技巧不仅使用于支持向量机，还适用于一大类问题。

定理 22（简化版表示定理）

优化问题

\[
\begin{align}
\underset{w}{\mathrm{min}}\;\;\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m} \ell \Big(w^{\top}\phi(x_i),\;y_i\Big) + \frac{\lambda}{2}||w||^2
\end{align}
\]

的解 \(w\) 是样本的线性组合

\[
\begin{align}
w = \sum\limits_{i=1}^{m} \alpha_i \phi(x_i).
\end{align}
\]

证明. 我们使用反证法. 令

\[
\begin{align}
\Phi := [\phi(x_1)\;\phi(x_2) \cdots \phi(x_m)].
\end{align}
\]

假设最优解 \(w\) 不是样本的线性组合，那么

\[
\begin{align}
\exists \alpha,e \neq 0.\; w=\Phi \alpha + e
\end{align}
\]

其中，\(e\) 不是样本的线性组合，即对任意 \(\phi(x_i),\;\phi(x_i)^{\top}e=0\)。因为

\[
\begin{align}
\ell \Big(w^{\top}\phi(x_i),\;y_i\Big) & = \ell \Big((\Phi\alpha+e)^{\top}\phi(x_i),\;y_i\Big) \nonumber \\
& = \ell \Big((\Phi\alpha)^{\top}\phi(x_i),\;y_i\Big) \\
||w||^2 & = ||\Phi\alpha||^2+||e||^2+2(\Phi\alpha)^{\top}e>||\Phi\alpha||^2,
\end{align}
\]

即 \(\Phi \alpha\) 比 \(w\) 有更小的目标函数值，说明 \(w\) 不是最优解，与假设矛盾。因此，最优解必定是样本的线性组合。

此外，原版表示定理适用于任意单调递增正则项 \(\Omega(w)\)。此证明已超出本文范围，感兴趣的读者可参考 [13]。

表示定理对损失函数形式没有限制，这意味着对许多优化问题，最优解都可以写成样本的线性组合。更进 一步，\(w^T \phi(x)\) 将可以写成核函数的线性组合

\[
\begin{align}
w^{\top}\phi(x)=\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i\kappa(x_i,\;x).
\end{align}
\]

通过核函数，我们可以将线性模型扩展成非线性模型。这启发了一系列基于核函数的学习方法，统称为核方法 [8]。

Table 1：常用核函数

除此之外，还有其他一些核函数，例如卡方核（chi squared kernel），直方图交叉核（histogram intersection kernel）等。

名称	形式	优点	缺点
线性核	\(x_i^{\top}x_j\)	有高效实现，不易过拟合	无法解决非线性可分问题
多项式核	\((\beta x_i^{\top}x_j + \theta)^n\)	比线性核更一般，\(n\) 直接描述了被映射空间的复杂度	参数多，当 \(n\) 很大时会导致计算不稳定
RBF核	\(\mathrm{exp}\Big(-\frac{||x_i - x_j||^2}{2\sigma^2}\Big)\)	只有一个参数，没有计算不稳定问题	计算慢，过拟合风险大

软间隔

不管直接在原特征空间，还是在映射的高维空间，我们都假设样本是线性可分的。虽然理论上我们总能找 到一个高维映射使数据线性可分，但在实际任务中，寻找到这样一个合适的核函数通常很难。此外，由于数据中通常有噪声存在，一味追求数据线性可分可能会使模型陷入过拟合的泥沼。因此，我们放宽对样本的要求，即允许有少量样本分类错误。

软间隔支持向量机基本型

我们希望在优化间隔的同时，允许分类错误的样本出现，但这类样本应尽可能少：

\[
\begin{align}
\underset{w,b}{\mathrm{min}} \;\; & \frac{1}{2} w^{\top}w + C \sum\limits_{i=1}^{m} \mathbb{I} \Big(y_i \neq \mathrm{sign} \big(w^{\top}\phi(x_i) + b \big) \Big) \\
\mathrm{s.t.} \;\; & y_i \big(w^{\top}\phi(x_i) + b\big) \geq 1,\text{ 若 } y_i = \mathrm{sign}\big(w^{\top}\phi(x_i) + b\big). \nonumber
\end{align}
\]

其中，\(\mathbb{I}(\cdot)\) 是指示函数，\(C\) 是个可调节参数，用于权衡优化间隔和少量分类错误样本这两个目标。但是，指示函数不连续，更不是凸函数，使得优化问题不再是二次规划问题。所以我们需要对其进行简化。

公式 60 难以实际应用的原因在于指示函数只有两个离散取值 0/1，对应样本分类正确/错误。为了能使优 化问题继续保持为二次规划问题，我们需要引入一个取值为连续值的变量，刻画样本满足约束的程度。我们引入松弛变量 (slack variable) \(\xi_i\)，用于度量样本违背约束的程度。当样本违背约束的程度越大，松弛变量值越大。即，

\[
\begin{align}
\xi_i=
\begin{cases}
0&\text{若 }y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\geq 1; \\
1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\;\;\;&\text{否则.}
\end{cases}
\end{align}
\]

定理 23（软间隔支持向量机基本型）

软间隔支持向量机旨在找到一组适合的参数 \((w,b)\)，使得

\[
\begin{align}
\underset{w,b,\xi}{\mathrm{min}}\;\;&\frac{1}{2}w^{\top}w+C\sum\limits_{i=1}^{m}\xi_i \\
\mathrm{s.t.}\;\;&y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\geq 1-\xi_i,\;\;i=1,2,...,m, \nonumber \\
&\xi_i\geq0,\;\;i=1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

其中，\(C\) 是个可调节参数，用于权衡优化间隔和少量样本违背大间隔约束这两个目标。当 \(C\) 比较大时，我们希望更多的样本满足大间隔约束；当 \(C\) 比较小时，我们允许有一些样本不满足大间隔约束。

证明. 当样本满足约束 \(y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\geq 1\) 时，\(y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\geq 1-\xi_i\) 对任意 \(\xi_i\geq 0\) 成立，而优化目标要最小化 \(\xi_i\)，所以 \(\xi_i=0\)。当样本不满足约束时，\(\xi_i\geq 1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\)，而优化目标要最小化 \(\xi_i\)，所以 \(\xi_i=1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\)。

推论 24

软间隔支持向量机基本型中描述的优化问题属于二次规划问题，包括 \(m+\tilde{d}+1\) 个优化变量，\(2m\) 项约束。

证明. 令

\[
\begin{align}
u:=\begin{bmatrix}w\\b\\\xi\end{bmatrix},\;\;\mathcal{Q}:=\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix},\;\;t:=C\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\\\nonumber\\
c_i:=\begin{bmatrix}y_i\phi(x_i)\\y_i\\e_i\end{bmatrix},\;\;d_i:=1,\;\;i=1,2,...,m,\\\nonumber\\
c_i:=\begin{bmatrix}0\\e_i\end{bmatrix},\;\;d_i:=0,\;\;i=m+1,...,2m,
\end{align}
\]

代入公式 10 即得.

软间隔支持向量机对偶型

定理 25 (软间隔支持向量机对偶型).

软间隔支持向量机的对偶问题等价于找到一组合适的 \(\alpha\)，使得

\[
\begin{align}
\underset{\alpha}{\mathrm{min}}\;\;&\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{m}\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^{\top}\phi(x_j)-\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i \\
\mathrm{s.t.}\;\;& \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i=0, \nonumber \\
& 0\leq\alpha_i\leq C,\;\;i=1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

证明. 软间隔支持向量机得拉格朗日函数为

\[
\begin{align}
\mathcal{L}(w,b,\xi,\alpha,\beta):=&\frac{1}{2}w^{\top}w+C\sum\limits_{i=1}^{m}\xi_i \nonumber \\
&+\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i\Big(1-\xi_i-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\Big) \nonumber \\
&+\sum\limits_{i=1}^{m}\beta_i(-\xi_i).
\end{align}
\]

其对偶问题为

\[
\begin{align}
\underset{\alpha,\beta}{\mathrm{max}}\;\;\underset{w,b,\xi}{\mathrm{min}}\;\;& \mathcal{L}(w,b,\xi,\alpha,\beta) \\
\mathrm{s.t.}\;\;\;\;\;\;& \alpha_i\geq0,\;\;i=1,2,...,m, \\
& \beta_i\geq0,\;\;i=1,2,...,m. \nonumber
\end{align}
\]

因为内层对 \((w, b, \xi)\) 的优化属于无约束优化问题，我们可以通过令偏导等于零的方法得到 \((w, b, \xi)\) 的最优值。

\[
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w}=0\Leftrightarrow & w = \sum\limits_{i=1}^{m} \alpha_iy_i\phi(x_i), \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b}=0\Leftrightarrow &\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i=0,\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \xi}=0\Leftrightarrow &\alpha_i+\beta_i=C.
\end{align}
\]

因为存在约束 \(\beta_i=C-\alpha_i\geq 0\)，不失一般性，我们可以约束 \(0\leq \alpha_i \leq C\)，从而去掉变量 \(\beta_i\)。将其代入公式 68，消去 \((w,b,\xi,\beta)\)，即得。

推论 26. 软间隔支持向量机对偶型中描述的优化问题属于二次规划问题，包括 \(m\) 个优化变量，\(2m+2\) 项约束。

证明. 令

\[
\begin{align}
& u:=\alpha,\;\;\mathcal{Q}:=\big[y_iy_j\phi(x_i)^{\top}\phi(x_j)\big]_{m \times m},\;\;t:=-1, \\ \nonumber \\
& c_i:=e_i,\;\;d_i:=0,\;\;i=1,2,...,m, \\ \nonumber \\
& c_i:=-e_i,\;\;d_i:=-\xi_i,\;\;i=m+1,...,2m, \\ \nonumber \\
& c_{2m+1}:=[y_1\;y_2\;\cdots y_m]^{\top},\;\;d_{2m+1}:=0,\\ \nonumber \\
& c_{2m+2}:=-[y_1\;y_2\;\cdots y_m]^{\top},\;\;d_{2m+2}:=0,
\end{align}
\]

代入公式 10 即得.

软间隔支持向量机的支持向量

定理 27 (软间隔支持向量机的 KKT 条件).

软间隔支持向量机的 KKT 条件如下.

• 主问题可行：\(1-\xi_i-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i) + b\big)\leq 0,\;-\xi_i\leq 0\);
• 对偶问题可行：\(\alpha_i \geq 0,\;\beta_i\geq 0\);
• 互补松弛：\(\alpha_i\big(1-\xi_i-y_i(w^{\top}\phi(x_i)+b)\big)=0,\;\beta_i\xi_i=0\).

证明. 令

\[
\begin{align}
&u:=\begin{bmatrix}w\\b\\\xi\end{bmatrix},\\ \nonumber\\
&g_i(u):=1-\begin{bmatrix}y_iw\\y_i\\e_i\end{bmatrix}^{\top}u,\;\;i=1,2,...,m,\\ \nonumber \\
&g_i(u):=-\begin{bmatrix}0\\e_i\end{bmatrix}^{\top}u,\;\;i=m+1,...,2m.
\end{align}
\]

代入引理 8 即得.

引理 28. 软间隔支持向量机中，支持向量落在最大间隔边界，内部，或被错误分类的样本。

证明. 由软间隔支持向量机的 KKT 条件可知，\(\alpha_i\Big(1-\xi_i-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\Big)=0\) 且 \(\beta_i\xi_i=0\)。当 \(\alpha_i>0\) 时，\(1-\xi_i-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)=0\)。进一步可分为两种情况。

• \(0<\alpha_i<C\)。此时 \(\beta_i=C-\alpha_i>0\)。因此 \(\xi_i=0\)，即该样本恰好落在最大间隔边界上；
• \(\alpha_i=C\)。此时 \(\beta_i=C-\alpha_i=0\)。若 \(\xi_i\leq 1\)，该样本落在最大间隔内部；若 \(\xi_i>1\)，该样本被错误分类。

定理 29. 支持向量机的参数 \((w, b)\) 仅由支持向量决定，与其他样本无关。

证明. 和线性支持向量机证明方式相同。

铰链损失

引理 30.

公式 61 等价为

\[
\begin{align}
\xi_i=\mathrm{max}\Big(0,1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\Big).
\end{align}
\]

证明.

当样本满足约束时，\(1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\leq 0\)，\(\xi_i=0\)；
当样本不满足约束时，\(1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big) > 0\)，\(\xi_i=1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\)。

定理 31

软间隔支持向量机的基本型等价于

\[
\begin{align}
\underset{w,b}{\mathrm{min}}\;\;\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\mathrm{max}\Big(0,1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\Big)+\frac{\lambda}{2}||w||^2
\end{align}
\]

其中，第一项称为经验风险，度量了模型对训练数据的拟合程度；第二项称为结构风险，也称为正则化项，度量了模型自身的复杂度。正则化项削减了假设空间，从而降低过拟合风险。λ 是个可调节的超参数，用于权衡经验风险和结构风险。

证明. 对应于软间隔支持向量机的基本型，\(\xi_i=\mathrm{max}\Big(0,1-y_i\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)\Big)\geq 0\)，且 \(\lambda=\frac{1}{mC}\)。

定义 6（铰链损失 - hinge loss）

铰链损失函数定义为

\[
\begin{align}
\ell(s)=\mathrm{max}(0,1-s).
\end{align}
\]

除铰链损失外，还有其他一些常用损失函数 [19]，见表 2. \(s:=y_iw^{\top}\phi(x)\) 的数值大小度量了模型认为该样本属于某一标记的确信程度。我们希望，当样本分类正确时，即 \(s>0\) 时，\(\ell(s)\) 小一些；当样本分类错误时，即 \(s<0\) 时，\(\ell(s)\) 大一些。

Table 2：常用损失函数. 其中 \(s:=y_iw^{\top}\phi(x)\).

名称	形式	特点	实例
0/1损失	\(\mathbb{I}(s<0)\)	直接优化目标；非凸，不连续，NP难	感知机
铰链损失	\(\mathrm{max}(0,1-s)\)	替代损失，0/1损失上界；凸，连续	支持向量机，基于二次规划方法优化
对数几率损失	\(\mathrm{log}\big(1+\mathrm{exp}(-s)\big)\)	替代损失，0/1损失上界；凸，连续	对数几率回归，基于梯度下降方法优化
指数损失	\(\mathrm{exp}(-s)\)	替代损失，0/1损失上界；凸，连续	AdaBoost，分布优化基于分类器权重

优化方法

SMO

如果直接用经典的二次规划软件包求解支持向量机对偶型，由于 \(\mathcal{Q}:=[y_i y_j \phi (x_i)^T \phi (x_j)]_{m \times m}\) 的存储开销是 \(\mathcal{O}(m^2)\)，当训练样本很多时，这将是一个很大的存储和计算开销。序列最小化 (SMO) [10]是一个利用支持 向量机自身特性高效的优化算法。SMO 的基本思路是坐标下降。

定义 7 (坐标下降). 通过循环使用不同坐标方向，每次固定其他元素，只沿一个坐标方向进行优化，以达到目标函数的局部最小，见算法 1.

我们希望在支持向量机中的对偶型中，每次固定除 \(\alpha_i\) 外的其他变量，之后求在 \(\alpha_i\) 方向上的极值。但由于 约束 \(\sum\limits_{i=1}^{m} y_i \alpha_i = 0\)，当其他变量固定时，\(\alpha_i\) 也随着确定。这样，我们无法在不违背约束的前提下对 \(\alpha_i\) 进行优化。因此，SMO 每步同时选择两个变量 \(\alpha_i\) 和 \(\alpha_j\) 进行优化，并固定其他参数，以保证不违背约束。

Algorithm 1 坐标下降
Input：优化目标 \(f\).
Output：\(u\)，使得 \(f(u)\) 最小.
1：while 不收敛 do
2：\(\;\;\;\;\)for i \(\gets\) 1 to \(n\) do
3：\(\;\;\;\;\;\;\;\;u_i\) \(\gets\) \(\underset{u_i}{\mathrm{argmin}}f(u)\)
4：\(\;\;\;\;\)end for
5：end while
6：return \(u\)

定理 32 (SMO 每步的优化目标).

SMO 每步的优化目标为

\[
\begin{align}
\underset{\alpha_i,\alpha_j}{\mathrm{min}}\;\;&\frac{1}{2}\Big(\alpha_i^2y_i^2\phi(x_i)^{\top}\phi(x_i)+\alpha_j^2y_j^2\phi(x_j)^{\top}\phi(x_j)+2\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^{\top}\phi(x_j)\Big) - (\alpha_i+\alpha_j)\\\nonumber \\
\mathrm{s.t.}\;\;& \alpha_iy_i+\alpha_jy_j=c, \nonumber \\\nonumber \\
&0\leq \alpha_i \leq \xi_i,\nonumber \\\nonumber \\
&0\leq \alpha_j \leq \xi_j,\nonumber
\end{align}
\]

其中，\(c:=-\sum\limits_{k\neq i,j}^{}\alpha_ky_k\).

证明. 固定住公式 68 中除 \(\alpha_i,\alpha_j\) 外的其它变量即得.

推论 33. SMO 每步的优化目标可等价为对 \(\alpha_i\) 的单变量二次规划问题。

证明. 由于 \(\alpha_j=y_j(c-\alpha_i y_i)\)，我们可以将其代入 SMO 每步的优化目标，以消去变量 \(\alpha_j\)。此时，优化目标函数是对于 \(\alpha_i\) 的二次函数，约束是一个取值区间 \(L \leq \alpha_i \leq H\)。之后根据目标函数顶点与区间 \([L, H]\) 的位置关系，可以得到 \(\alpha_i\) 的最优值。理论上讲，每步优化时 \(\alpha_i\) 和 \(\alpha_j\) 可以任意选择，但实践中通常取 \(\alpha_i\) 为违背 KKT 条件最大的变量，而 \(\alpha_j\) 取对应样本与 \(\alpha_i\) 对应样本之间间隔最大的变量。对 SMO 算法收敛性的测试可以用过检测是否满足 KKT 条件得到。

Pegasos

我们也可以直接在原问题对支持向量机进行优化，尤其是使用线性核函数时，我们有很高效的优化算法，如 Pegasos [14]。Pegasos 使用基于梯度的方法在线性支持向量机基本型

\[
\begin{align}
\underset{w,b}{\mathrm{min}}\;\;\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\mathrm{max}\big(0,1-y_i(w^{\top}x_i+b)\big)+\frac{\lambda}{2}||w||^2.
\end{align}
\]

进行优化，见算法 2。

Algorithm 2 Pegasos.
Input：\([(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)]\).
Output：支持向量机参数 \((w,b)\)
1：while 不收敛 do
2：\(\;\;\;\;\frac{\partial J}{\partial w}\gets - \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\mathbb{I}\big(y_i(w^{\top}x_i +b)\leq 1\big)\cdot y_ix_i+\lambda w\)
3：\(\;\;\;\;\frac{\partial J}{\partial b}\gets - \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\mathbb{I}\big(y_i(w^{\top}x_i +b)\leq 1\big)\cdot y_i\)
4：\(\;\;\;\;w\gets w-\eta\frac{\partial J}{\partial w}\)
5：\(\;\;\;\;b\gets b-\eta\frac{\partial J}{\partial b}\)
6：end while
7：return \((w,b)\)

近似算法

当使用非线性核函数下的支持向量机时，由于核矩阵 \(K := [\kappa(x_i, x_j)]_{m \times m}\)，所以时间复杂度一定是 \(\Omega(m^2)\)，因此，有许多学者致力于研究一些快速的近似算法。例如，CVM [15]基于近似最小包围球算法，Nyström 方法[18]通过从 \(K\) 采样出一些列来得到 \(K\) 的低秩近似，随机傅里叶特征[12]构造了向低维空间的随机映射。本章介绍了许多优化算法，实际上现在已有许多开源软件包对这些算法有很好的实现，目前比较著名的有 LibLinear[7] 和 LibSVM[3]，分别适用于线性和非线性核函数。

支持向量机的其他变体

ProbSVM. 对数几率回归可以估计出样本属于正类的概率，而支持向量机只能判断样本属于正类或负类，无法得到概率。ProbSVM[11]先训练一个支持向量机，得到参数 \((w, b)\)。再令 \(s_i := y_i w^T \phi (x_i) + b\)，将 \(\{(s_1, y_1),(s_2, y_2),...,(x_m, y_m)\}\) 当做新的训练数据训练一个对数几率回归模型，得到参数 \((\theta_1, \theta_0)\)。因此，ProbSVM 的假设函数为 :

\(\begin{align} h(x) := \mathrm{sign} \Big(\theta_1 (w^T \phi (x) + b) + \theta_0 \Big) \end{align}\)

对数几率回归模型可以认为是对训练得到的支持向量机的微调，包括尺度 (对应 \(\theta_1\)) 和平移 (对应 \(\theta_0\))。通常 \(\theta_1 > 0\)，\(\theta_0 \approx 0\)。

多分类支持向量机. 支持向量机也可以扩展到多分类问题中. 对于 \(K\) 分类问题，多分类支持向量机 [17] 有 K 组参数 \(\{(w_1, b_1),(w_2, b_2),...,(w_K, b_K)\}\)，并希望模型对于属于正确标记的结果以 1 的间隔高于其他类的结 果，形式化如下

\[
\begin{align}
\underset{w,b}{\mathrm{min}}\;\;\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K}\mathrm{max}\Big(0,\big(w_{y_i}^{\top}\phi(x_i)+b_{y_i}\big)-\big(w_{k}^{\top}\phi(x_i)+b_k\big)+1\Big)+\frac{\lambda}{2}\sum\limits_{k=1}^{K}w_k^{\top}w_k.
\end{align}
\]

支持向回归（SVR）. 经典回归模型的损失函数度量了模型的预测 \(h(x_i)\) 和 \(y_i\) 的差别，支持向量回归 [6] 能够容忍 \(h(x_i)\) 与 \(y_i\) 之间小于 \(\varepsilon\) 的偏差。令 \(s:=y-\big(w^{\top}\phi(x)+b\big)\)，我们定义 \(\varepsilon\) 不敏感损失为

\[
\begin{align}
\begin{cases}
0&\text{若 }|y-\big(w^{\top}\phi(x)+b\big)|\leq \varepsilon; \\
|s|-\varepsilon\;\;&\text{否则.}
\end{cases}
\end{align}
\]

定理 34（支持向量回归）

支持向量回归可形式化为

\[
\begin{align}
\underset{w,b}{\mathrm{min}}\;\;\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\mathrm{max}\Big(0,|y_i-\big(w^{\top}\phi(x_i)+b\big)|-\varepsilon\Big)+\frac{\lambda}{2}w^{\top}w
\end{align}
\]

证明.
当 \(|y-\big(w^{\top}\phi(x)+b\big)|\leq \varepsilon\) 时，\(|y-\big(w^{\top}\phi(x)+b\big)| - \varepsilon \leq 0,\; \mathrm{max}(0,\cdot)\) 结果为 0；
当 \(|y-\big(w^{\top}\phi(x)+b\big)| > \varepsilon\) 时，\(\mathrm{max}(0,\cdot)\) 结果为 \(|y-\big(w^{\top}\phi(x)+b\big)| - \varepsilon\)。

References

[1] B. E. Boser, I. M. Guyon, and V. N. Vapnik. A training algorithm for optimal margin classifiers. In Proceedings of the Annual Workshop on Computational Learning Theory, pages 144–152, 1992. 5

[2] S. Boyd and L. Vandenberghe. Convex optimization. Cambridge university press, 2004. 4

[3] C.-C. Chang and C.-J. Lin. LIBSVM: A library for support vector machines. ACM Transactions on Intelligent Systems and Technology, 2(3):27, 2011. 10

[4] C. Cortes and V. Vapnik. Support-vector networks. Machine Learning, 20(3):273–297, 1995. 1 [5] N. Cristianini and J. Shawe-Taylor. An introduction to support vector machines and other kernel-based learning methods. Cambridge University Press, 2000. 6

[6] H. Drucker, C. J. Burges, L. Kaufman, A. J. Smola, and V. Vapnik. Support vector regression machines. In Advances in Neural Information Processing Systems, pages 155–161, 1997. 10

[7] R.-E. Fan, K.-W. Chang, C.-J. Hsieh, X.-R. Wang, and C.-J. Lin. LIBLINEAR: A library for large linear classification. Journal of Machine Learning Research, 9(8):1871–1874, 2008. 10

[8] T. Hofmann, B. Schölkopf, and A. J. Smola. Kernel methods in machine learning. The Annals of Statistics, pages 1171–1220, 2008. 6

[9] G. R. Lanckriet, N. Cristianini, P. Bartlett, L. E. Ghaoui, and M. I. Jordan. Learning the kernel matrix with semidefinite programming. Journal of Machine Learning Research, 5(1):27–72, 2004. 6 [10] J. Platt. Sequential minimal optimization: A fast algorithm for training support vector machines. Micriosoft Research, 1998. 9

[11] J. Platt et al. Probabilistic outputs for support vector machines and comparisons to regularized likelihood methods. Advances in Large Margin Classifiers, 10(3):61–74, 1999. 10

[12] A. Rahimi and B. Recht. Random features for largescale kernel machines. In Advances in Neural Information Processing Systems, pages 1177–1184, 2008. 10

[13] B. Scholkopf and A. J. Smola. Learning with kernels: support vector machines, regularization, optimization, and beyond. MIT press, 2001. 6

[14] S. Shalev-Shwartz, Y. Singer, N. Srebro, and A. Cotter. Pegasos: Primal estimated sub-gradient solver for SVM. Mathematical Programming, 127(1):3–30, 2011. 9

[15] I. W. Tsang, J. T. Kwok, and P.-M. Cheung. Core vector machines: Fast SVM training on very large data sets. Journal of Machine Learning Research, 6(4):363– 392, 2005. 10

[16] V. Vapnik. The nature of statistical learning theory. Springer Science & Business Media, 2013. 5

[17] J. Weston, C. Watkins, et al. Support vector machines for multi-class pattern recognition. In Proceedings of the European Symposium on Artificial Neural Networks, volume 99, pages 219–224, 1999. 10

[18] C. K. Williams and M. Seeger. Using the nyström method to speed up kernel machines. In Advances in Neural Information Processing Systems, pages 682–688, 2001. 10

[19] 周志华. 机器学习. 清华大学出版社, 2016. 9