[CF1009F] Dominant Indices (+dsu on tree详解)

这道题用到了dsu（Disjoint Set Union） on tree，树上启发式合并。

先看了CF的官方英文题解，又看了看zwz大佬的题解，差不多理解了dsu on tree的算法。

但是时间复杂度有点玄学，问了一下zwz大佬才懂了为什么是nlogn。

题目传送门

先考虑暴力n^2的算法。

显然对于某个点，搜一遍它的子树，就能得到这个点的答案。这一步是O（n）的。

每个点都这么搞一遍，就是O（n^2）的暴力做法。

但是这个暴力做法有一点不足，子节点的答案没有应用到父节点的计算中，白白浪费时间重算一遍。

考虑优化，类似树链剖分，找出子树最大的儿子称作重儿子，把它的答案留着，这样计算父节点时就不用搜这个重儿子了。

显然保留子树最大的儿子的信息，能够节约最多的时间。

但是如果计算完重儿子的答案，保留了信息，再计算别的儿子的答案，已保留的信息会对当前的计算产生干扰。

所以我们先计算轻儿子，最后计算重儿子。

如果是轻儿子，更新答案计算后，暴力再改回去。

如果是重儿子，就留着。

计算完所有儿子的答案后，最后计算当前点。

只需要加上轻儿子的信息就好。重儿子的信息已经留着了，不用再加了。

下面是zwz大佬对于dsu on tree时间复杂度的证明：

每个节点只会在祖先节点的计算中被搜到。

而且只有它到它父亲是轻边的时候才会搜一遍。

所以每个点的计算次数是它到根的轻边数量，为logn。

所以总时间复杂度是nlogn。

感觉dsu也是挺暴力的，每次留一个，居然时间上优化了很多。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #define MAXN 1000005
 using namespace std;

 int n;
 int hd[MAXN],nx[MAXN<<],to[MAXN<<],ec;
 int dep[MAXN],sz[MAXN],ans[MAXN],cnt[MAXN];

 void edge(int af,int at)
 {
     to[++ec]=at;
     nx[ec]=hd[af];
     hd[af]=ec;
 }

 void pre(int p,int fa)
 {
     sz[p]=;
     dep[p]=dep[fa]+;
     for(int i=hd[p];i;i=nx[i])
     {
         if(to[i]==fa)continue;
         pre(to[i],p);
         sz[p]+=sz[to[i]];
     }
 }

 struct data
 {
     int d,v;
     friend bool operator<(data q,data w)
     {
         if(q.v==w.v)return q.d>w.d;
         return q.v<w.v;
     }
 };

 priority_queue<data>qq;

 void add(int p,int fa)
 {
     cnt[dep[p]]++;
     data neo={dep[p],cnt[dep[p]]};
     qq.push(neo);
     for(int i=hd[p];i;i=nx[i])if(to[i]!=fa)add(to[i],p);
 }

 void del(int p,int fa)
 {
     cnt[dep[p]]--;
     for(int i=hd[p];i;i=nx[i])if(to[i]!=fa)del(to[i],p);
 }

 void dfs(int p,int fa,int stay)
 {
     int son=,mx=-;
     for(int i=hd[p];i;i=nx[i])
     {
         if(to[i]==fa)continue;
         if(mx<sz[to[i]])mx=sz[to[i]],son=to[i];
     }
     for(int i=hd[p];i;i=nx[i])
     {
         if(to[i]==fa||to[i]==son)continue;
         dfs(to[i],p,);
     }
     if(son)dfs(son,p,);
     for(int i=hd[p];i;i=nx[i])
     {
         if(to[i]==fa||to[i]==son)continue;
         add(to[i],p);
     }
     cnt[dep[p]]++;
     data neo={dep[p],cnt[dep[p]]};
     qq.push(neo);
     ans[p]=qq.top().d-dep[p];
     if(!stay)
     {
         del(p,fa);
         while(!qq.empty())qq.pop();
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         edge(x,y);
         edge(y,x);
     }
     pre(,);
     dfs(,,);
     for(int i=;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);
     return ;
 }

CF1009F Dominant Indices

P.S. 调试的时候改小了数组，提交的时候忘改回去了......改回去之后直接A掉了......有点桑心哈哈哈