牛客国庆集训派对Day1-C：Utawarerumono（数学）

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来源：牛客网

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64bit IO Format: %lld

题目描述

算术是为数不多的会让Kuon感到棘手的事情。通常她会找Haku帮忙，但是Haku已经被她派去买东西了。于是她向你寻求帮助。

给出一个关于变量x,y的不定方程 $ax+by=c$ ，显然这个方程可能有多个整数解。Kuon想知道如果有解，使得 $p_{2}x^{2}+p_{1}x+q_{2}y^{2}+q_{1}y$ 最小的一组整数解是什么。为了方便，你只需要输出 $p_{2}x^{2}+p_{1}x+q_{2}y^{2}+q_{1}y$ 的最小值。

输入描述:

第一行三个空格隔开的整数a,b,c(0 ≤ a,b,c≤ 105)。

第二行两个空格隔开的整数p1,p2(1 ≤ p1,p2 ≤ 105)。

第三行两个空格隔开的整数q1,q2(1 ≤ q1,q2 ≤ 105)。

输出描述:

如果方程无整数解，输出“Kuon”。

如果有整数解，输出的最小值。

示例1

输入

输出

Kuon

示例2

输入

输出

思路

先利用GCD来判断不定方程 $ax+by=c$ 是否有解，如果有解，将不定方程和带入方程 $p_{2}x^{2}+p_{1}x+q_{2}y^{2}+q_{1}y$ 进行化简；

过程如下：

$y=\dfrac {c-ax}{b}$ ；

将y带入方程可得：

$p_{2}x^{2}+p_{1}x+q_{2},\dfrac {c^{2}+a^{2}x^{2}-2acx}{b^{2}}+q_{1}\dfrac {c-ax}{b}$

$=\left( p_{2}+\dfrac {a^{2}q_{2}}{b^{2}}\right) x^{2}+\left( p_{1}-\dfrac {2acq_{2}}{b^{2}}-\dfrac {aq_{1}}{b}\right) x+\dfrac {q_{2}c^{2}}{b^{2}}+\dfrac {q_{1}c}{b}$

由抛物线的性质可知：方程 $p_{2}x^{2}+p_{1}x+q_{2}y^{2}+q_{1}y$ 的最小值在对称轴附近

由上式化简可知，抛物线的对称轴为： $\dfrac {\dfrac {q_{1}a}{b}+\dfrac {2acq_{2}}{b^{2}}-p_{1}}{2\left( p_{2}+\dfrac {a^{2}}{b^{2}}q_{2}\right) }$

然后在这条抛物线两边来找满足 $ax+by=c$ 的整数解就可以了（即满足 $\left( c-ax\right) \% b=0$ ），然后求两边满足要求的最小解就可以了

AC代码

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <math.h>

#include <limits.h>

#include <map>

#include <stack>

#include <queue>

#include <vector>

#include <set>

#include <string>

#define ll long long

#define ull unsigned long long

#define ms(a) memset(a,0,sizeof(a))

#define pi acos(-1.0)

#define INF 0x7f7f7f7f

#define lson o<<1

#define rson o<<1|1

const double E=exp(1);

const int maxn=1e6+10;

const int mod=1e9+7;

using namespace std;

ll gcd(ll a,ll b)

{

	return b?gcd(b,a%b):a;

}

int main(int argc, char const *argv[])

{

	ios::sync_with_stdio(false);

	ll a,b,c;

	ll p1,p2;

	ll q1,q2;

	cin>>a>>b>>c;

	cin>>p1>>p2;

	cin>>q1>>q2;

	ll _=gcd(a,b);

	if(c%_)

		cout<<"Kuon"<<endl;

	else

	{

		ll x=((2*a*c*q2)/(b*b)+a*q1/b-p1)/(2*(p2+(a*a*q2)/(b*b)));

		ll x1=x,x2=x;

		while((c-a*x1)%b)

			x1--;

		while((c-a*x2)%b)

			x2++;

		ll a1=(c-a*x1)/b;

		ll a2=(c-a*x2)/b;

		ll res1=(p1*x1+p2*x1*x1+q2*a1*a1+q1*a1);

		ll res2=(p1*x2+p2*x2*x2+q2*a2*a2+q1*a2);

		cout<<min(res1,res2)<<endl;

	}

	return 0;

}