一些数学上的概念理解(持续更新qwq)

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满射:

如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

满射或盖射（英语：surjection、onto），或称满射函数或映成函数，一个函数 为满射，则对于任意的陪域Y中的元素 y，在函数的定义域X中存在一点 x使得f(x)=y。换句话说, f是满射时，它的值域f(X)与陪域Y相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素  其原像不等于空集合。

单射:

设f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射。在数学里，单射函数为一函数，其将不同的引数连接至不同的值上。更精确地说，函数f被称为是单射时，对每一值域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y。另一种说法为，f为单射，当f(a) = f(b)，则a = b(若a≠b，则f(a)≠f(b))，其中a、b属于定义域。单射在某些书中也叫入射，可理解成“原不同则像不同”。

 

双射:

既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”。

双射(Bijection)的原理是一组关系，在判别某一种想法在应用能否双向的找到某一唯一对应的事物，理论上通常要判断这种想法是否满足双射的关系。因为具体的实施这一想法的途径我们是并不知道的，所以需要抽象出他们的关系，找到这个双射，如果找不到，并且验证这个双射不存在，那么想法是不可能实现的。

 

康托展开：

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

康托展开运算：

其中,  为整数,并且

  。

表示原数的第i位在当前未出现的元素中是排在第几个

康托展开的逆运算：

既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96时：

首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.用1去除1!得到1余0，这一位是2.最后一位只能是1.所以这个数是45321。

按以上方法可以得出通用的算法。

 

莫比乌斯反演：

设

  

和

 是定义在正整数集合上的两个函数,定义如下。

.

 

 

                                  

 

则