涨姿势---prufer数列

一、

简介

Prufer数列是无根树的一种数列。在组合数学中,Prufer数列由有一个对于顶点标过号的树转化来的数列,点数为n的树转化来的Prufer数列长度为n-2。它可以通过简单的迭代方法计算出来。它由Heinz Prufer于1918年在证明cayley定理时首次提出。

二、

(1)将树转换为prufer数列的方法。

总体的思路是迭代删点,直到原图中只剩下两个点。对于一棵树T,我们已经将每次找到树中标号最小的叶子结点,将这个叶子结点以及与它相邻的边删去,将与叶子结点相连

的点加入数列中。重复上一步,直到原图中只剩下两个点。

例子:以右边的树为例子,首先在所有叶子节点中编号最小的点是2,和它相邻的点的编号是3,将3加入序列并删除编号为2的点。接下来删除的点是4,5被加入序列,然后删除5,1,此时原图仅剩两个点,Prufer序列构建完成,为{3,5,1,3}

(2)将prufer数列转换为树的方法。

例子:将结点列一个集合A={1,2,3......,n};在集合A中找出一个没有在prufer数列中出现的最小的值,将这个值在集合A中删去,并且将这个值和prufer数列中的第一个数连起一条边,并划去prufer数列中的第一个值,重复此步,直到集合A中只剩下两个数字,将以这两个数字为编号的结点连起一条边。

仍为上面的树,Prufer序列为{3,5,1,3},开始时G={1,2,3,4,5,6},未出现的编号最小的点是2,将2和3连边,并删去Prufer序列首项和G中的2。接下来连的边为{4,5},{1,5},{1,3},此时集合G中仅剩3和6,在3和6之间连边,原树恢复。

三、

总结:

可见无根树和prufer数列是唯一对应的。一棵n个节点的无根树唯一地对应了一个长度为n-2的数列,数列中的每个数都在1到n的范围内。

无根树的表示法用prufer数列。

这个数列的特点:
这个点的度数-1=它在数列的出现次数。
prufer序列中某个编号出现的次数+1就等于这个编号的节点在无根树中的度数。
所以数列总长度是n-2。

四、

再看看Cayley公式:

Cayley公式是说,一个完全图K_n有n^(n-2)棵生成树,换句话说n个节点的带标

号的无根树有n^(n-2)个。

五、

附赠prufer数列裸题三套:(不用谢ovo)

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bzoj 1430

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