在图论中,求MST的Prim算法和求最短路的Dijskra算法非常像。可是我一直都对这两个算法处于要懂不懂的状态,现在,就来总结一下这两个算法。

最小生成树(MST)—Prim算法:

算法步骤:

•将顶点集V分成两个集合A和B,其中集合A表示目前已经在MST中的顶点,而集合B则表示目前不在MST中的顶点。

•寻找与集合A连通的最短的边(u,v),将这条边加入最小生成树中。(此时,与(u,v)相连的顶点,不妨设为Bi,也应加入集合A中。

•重复第二步,直至集合B为空集。

正确性证明:

1、由归纳法可知,只需要证明 “每次向集合A中加入一条边后都能保证,集合A这个生成树是关联到集合A中所有点的最小生成树”,就能证明Prim算法的正确性。下面用反证法证明。

2、若A此时是最小生成树,加入边(u,v)(其中u是A中的点,v不是),加入以后集合为A',反设A'不是其关联点的最小生成树。则存在某个点k使得连接边(k,v),去掉边(u,v)能将A'变为关联节点的最小生成树,那么就意味着边权w(k,v) < w(u,v),而如果这样,那么将节点v加入A时添加的边就是(k,v)而不是(u,v),矛盾。得证

PS:这里给出一个别的证明:http://www.cnblogs.com/sky-view/p/3250972.html

另外,学习最小生成树的时候,网上的很多博文、资料、题解都并没有给出证明过程而是只给出结论,建议看一下IOI2004吴景岳的论文

最短路——Dijskra算法(求正权图中的最短路):

算法步骤:

•将顶点集V分成两个集合A和B,其中集合A表示目前已经在求出最短路的节点,而集合B则表示目前没有求出最短路的节点。

•每次将点加入集合A时,都维护一个数组d[i],表示节点i与起点通过A中的点相连所需要的最短路径长度。

•每次要向A中加入点时,都加入d[i]值最小的,且在集合B中的点。

•不断向集合A中加入点,直到集合B为空。

下图为白书中的伪代码:

正确性证明:

1、首先要明确一点,按照Dijskra算法形成的集合A,对任意A中的点i和B中的点j,i点到起点的最短路径已经求出设为d[i],j点到起点的最短距离设为d[j],则一定有有d[i] <= d[j],因为A中的A.size()个点是所有点中离起点距离最近的A.size()个点。

3、假设此时A中所有节点的d[]值即为其最短路,并且即将将B集合中的j点添加到A中。对于j点,它到起点的最短路如果含有边(j, k),则有两种可能出现的情况:

  (1)、此时k点已经在集合A中,则可以求出j点最短路d[j];

  (2)、此时k点不在A中,此时k点到起点的最短路径上有一条边为(k, k1),若点k1不在A中,则找点k1的最短路径上的边(k1, k2)。。。一直找到点kt,使得kt在B中,kt最短路径上的边(kt, k(t+1))上点k(t+1)在A中。这样,因为此时要将j点加入A中,且j点和kt点一定不同,所以d[j] <= d[kt],而因为边权为正,所以d[kt] < d[k],所以d[j] < d[k] < d[k] + w(j, k) = d[j],所以此种情况矛盾。所以k点一定在集合A中。

所以,算法正确。

算法对比:Prim算法与Dijskra算法的更多相关文章

  1. 【数据结构】最小生成树之prim算法和kruskal算法

    在日常生活中解决问题经常需要考虑最优的问题,而最小生成树就是其中的一种.看了很多博客,先总结如下,只需要您20分钟的时间,就能完全理解. 比如:有四个村庄要修四条路,让村子能两两联系起来,这时就有最优 ...

  2. java实现最小生成树的prim算法和kruskal算法

    在边赋权图中,权值总和最小的生成树称为最小生成树.构造最小生成树有两种算法,分别是prim算法和kruskal算法.在边赋权图中,如下图所示: 在上述赋权图中,可以看到图的顶点编号和顶点之间邻接边的权 ...

  3. 最小生成树——Prim算法和Kruskal算法

    洛谷P3366 最小生成树板子题 这篇博客介绍两个算法:Prim算法和Kruskal算法,两个算法各有优劣 一般来说当图比较稀疏的时候,Kruskal算法比较快 而当图很密集,Prim算法就大显身手了 ...

  4. Prim算法和Dijkstra算法的异同

    Prim算法和Dijkstra算法的异同 之前一直觉得Prim和Dijkstra很相似,但是没有仔细对比: 今天看了下,主要有以下几点: 1: Prim是计算最小生成树的算法,比如为N个村庄修路,怎么 ...

  5. 最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

    Prim算法 1.概览 普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树.意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (gra ...

  6. 学习笔记之 prim算法和kruskal算法

    ~. 最近数据结构课讲到了prim算法,然而一直使用kruskal算法的我还不知prim的思想,实在是寝食难安,于此灯火通明之时写此随笔,以祭奠我睡过去的数 据结构课. 一,最小生成树之prim pr ...

  7. Prim算法和Kruskal算法(图论中的最小生成树算法)

    最小生成树在一个图中可以有多个,但是如果一个图中边的权值互不相同的话,那么最小生成树只可能存在一个,用反证法很容易就证明出来了. 当然最小生成树也是一个图中包含所有节点的权值和最低的子图. 在一个图中 ...

  8. 转载:最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

    本文摘自:http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html 最小生成树-Prim算法和Kruskal算法 Prim算 ...

  9. MST最小生成树及Prim普鲁姆算法

    MST在前面学习了Kruskal算法,还有一种算法叫做Prim的.这两者的区别是Prim算法适合稠密图,比如说鸟巢这种几乎所有点都有相连的图.其时间复杂度为O(n^2),其时间复杂度与边的数目无关:而 ...

随机推荐

  1. string.Join和Reverse的简单使用示例

    String.Join 方法 (String, String[]) 串联字符串数组的所有元素,其中在每个元素之间使用指定的分隔符. 例如,如果 separator 为“,”且 value 的元素为“a ...

  2. 用layer添加UIView的动画

    项目有时会遇到用UIView 添加动画的情况,这里我觉得在layer上添加动画比较好,因为可以详细地设定动画属性,方便理解 下面是一个旋转动画: -(void)roundBtnAction:(id)s ...

  3. python中的几种集成分类器

    from sklearn import ensemble 集成分类器(ensemble): 1.bagging(ensemble.bagging.BaggingClassifier) 对随机选取的子样 ...

  4. truncate 命令删除恢复

    truncate命令可以一次性删除当前表中所有记录并且不留任何日志,同时这个表的ID就自动初化从1开始,今天我就来给大家尝试一个利用truncate清除记录之后恢复过程. 实际线上的场景比较复杂,当时 ...

  5. TatukGIS-TGIS_LayerVector-LocateEx

    方法原型: function LocateEx(const _ptg: TGIS_Point; const _prec: Double; const _uid: Integer; var _dist: ...

  6. BAE 环境下配置 struts2 + spring + hibernate(SSH)(一)准备

    1.首先选择版本控制 SVN 或者 Git ,但是由于Git在windows下需要环境,所以优先选择SVN. 2.安装一个SVN客户端 windows下使用TortoiseSVN:立即下载 注意:BA ...

  7. div+css知识点

    前端书写规范: 1.所有书写均在英文半角状态下的小写: 2.id,class必须以字母开头: 3.所有标签必须闭合: 4.html标签用tab键缩进: 5.属性值必须带引号: 6.<!-- ht ...

  8. VS自带的功能:性能和诊断

    先看一眼代码: using System; using System.Collections.Generic; using XCode; using XCode.Configuration; usin ...

  9. CVE-2015-1635,MS15-034 漏洞测试

    HTTP.sys远程执行代码漏洞(CVE-2015-1635,MS15-034) 远程执行代码漏洞存在于 HTTP 协议堆栈 (HTTP.sys) 中,当 HTTP.sys 未正确分析经特殊设计的 H ...

  10. GNU INET SOCKET

    Linux程序设计入门 - socket/inetd programming UNIX Socket Programming基本上是一本书名.Socket programming其实需要相 当程度的基 ...