【20181019T2】硬币【矩阵快速幂优化DP】

题面

【错解】

哎\(N \leq 50\)？双向搜索？

切了切……

等下，好像要求方案数……

好像搜不了

哎他给\(V_{i} | V_{i+1}\)干嘛？

肯定有用啊

为了体现条件的用处，我在搜下一步时把后面的和S除以当前值

但还是T了啊

写了个\(O(NW^{2})\)的完全背包水水，瞎搞了个神奇算法，揉在一起，成功爆零

【正解】

设\(f_{t,i,j}\)表示选的硬币编号最大为i，最小大于等于j的凑出t的方案数

这样可以完整地表示出\(f_{t,i,j}=\sum f_{t_{1},i,k} \times f_{t_{2},k,j}\)（其中\(t_{1}+t_{2}=t,j \leq k \leq i\)）

哎怎么那么眼熟？

这不就是传说中的……矩阵乘法？

换一下：

设矩阵\(A_{t}\)的i行j列表示最大为i，最小大于等于j的凑出t的方案数

那么有\(A_{v_{1}+v_{2}}=A_{v_{1}} \times A_{v_{2}}\)

首先预处理凑出每种硬币对应价值有多少种方案

①自己动手，丰衣足食

即\(A_{i}\)的最大为i，j不超过i（废话）的方案数为1

②从前面凑出来

\(A_{i}=A_{i-1} ^{\frac{v[i]}{v[i-1]}}\)

两者相加

然后从大往小跑，每次尽量取完，因为已经包含更小的情况，所以没有遗漏

搞个矩阵快速幂就好了

代码