**题意:**有N个座位,人可以选座位,但选的座位不能相邻,且旋转不同构的坐法有几种。如4个座位有3种做法。\\( 1≤N≤1000000000 (10^9) \\).
**题解:**首先考虑座位不相邻的选法问题,如果不考虑同构,可以发现其种数是一类斐波那契函数,只不过fib(1)是1 fib(2)是3。
由于n很大,所以使用矩阵快速幂来求fib。
再者考虑到旋转同构问题,枚举旋转**i (2π/n) **度,其等价类即\\( gcd(i, n) \\)种,那么可以得$$S(n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n}^{n}{fib(gcd(d,n))}$$
这样枚举d即可,在此之上公式还可简化成 $$S(n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n}^{n}{fib(d)\varphi(\frac{n}{d}) }$$
而枚举因子时,注意优化,得到因子i时可以顺带得到因子n/i,不然TLE...

最后使用EXGCD求1/n的乘法逆元。

还有需要考虑一个问题,当n=1时,答案是2,而fib(1)值为1,所以需要特判一下。

这道题综合的东西还蛮多的,刚好最近都在学这些,不错的题目/.



求欧拉函数时一个地方写错了查了好久T.T


/** @Date    : 2016-11-12-19.18

* @Author : Lweleth (SoungEarlf@gmail.com)

* @Link : https://github.com/

* @Version :

*/

#include <stdio.h>

#include <iostream>

#include <string.h>

#include <algorithm>

#include <utility>

#include <vector>

#include <map>

#include <set>

#include <string>

#include <stack>

#include <queue>

#define LL long long

#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))

#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))

using namespace std;



const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int N = 1e5+2000;

const LL mod = 1e9 + 7;







LL gcd(LL a, LL b)

{

return b?gcd(b, a % b):a;

}



LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)

{

LL d = a;

if(a == 0 && b == 0)

return -1;

if(b == 0)

{

x = 1;

y = 0;

}

else

{

d = exgcd(b, a % b, y, x);

y -= (a / b) * x;

}

return d;

}



LL inv(LL a, LL b)

{

LL x, y;

LL d = exgcd(a, b, x, y);

if(d == 1)

return (x % b + b) % b;

else return -1;

}



struct matrix

{

LL mat[2][2];

void init()

{

mat[0][0] = mat[1][0] = mat[0][1] = mat[1][1] = 0;

}

};



matrix mul(matrix a, matrix b)

{

matrix c;

c.init();

for(int i = 0; i < 2; i++)

for(int j = 0; j < 2; j++)

for(int k = 0; k < 2; k++)

{

c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];

c.mat[i][j] %= mod;

}

return c;

}



matrix fpow(matrix x, LL n)

{

matrix r;

r.init();

for(int i = 0; i < 2; i++)

r.mat[i][i] = 1;

while(n > 0)

{

if(n & 1)

r = mul(r, x);

x = mul(x, x);

n >>= 1;

}

return r;

}



LL phi(int x)

{

LL t = x;

LL ans = x;

for(int i = 2; i * i <= t; i++)

{

if(t % i == 0)

{

ans = ans / i * (i - 1);

while(t % i == 0)

{

t /= i;

}

}

}

if(t > 1)

ans = ans/t * (t-1);

return ans;

}



LL fib(int x)

{

matrix t;

t.init();

t.mat[0][0] = 1;

t.mat[0][1] = 1;

t.mat[1][0] = 1;

matrix a;

a = fpow(t, x-1);

LL ans = a.mat[1][0] * 3 + a.mat[1][1];

return ans % mod;

}

int main()

{

LL n;
while(~scanf("%lld", &n))

{

LL ans = 0;

for(int i = 1; i * i <= n; i++)//枚举因子优化

{

if(n % i == 0)

{

ans = (ans + phi(n/i)*fib(i)) % mod;

if(n / i != i)

{

ans = (ans + phi(i)*fib(n/i)) % mod;

}

}

}

ans = ans * inv(n, mod) % mod;



if(n == 1)

printf("2\n");

else

printf("%lld\n", ans);

}

return 0;

}


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