2016 Hunan Province Programming Contest

2016 Hunan Province Programming Contest

A. 2016

题意

• \(1 \le a \le n, 1 \le b \le m\) ，其中\(1 \le n,m \le 10^9\)
• 求正整数\((a,b)\)对的数量，满足\(ab \% 2016 = 0\)

思路

• \(2016=2^53^27\)
• 根据\(a\)对因子的贡献对\(a\)分类，每种方案数对应\(b\)的数量，即\[\lfloor \frac{m}{\frac{2016}{a}} \rfloor\]
• 那么剩下的就是求每类\(a\)的数量，这个容斥一下即可。

代码

• csu_1803

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B. 有向无环图

题意

• 给一张有\(N(N \le 10^5)\)个点，\(M(M \le 10^5)\)条边的DAG
• 求\[\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{count(i,j)a_ib_j\%(10^9+7)}}\]，其中\(count(i,j)\)表示点i到点j不同的路径数量。

思路

• \(a_i\)表示从i出发的每条边都要加上的权值，\(b_i\)则表示到达i的每条边的权值。
• 按照拓扑序转移下即可，注意要记忆化。

代码

• csu_1804

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D.Toll

题意

思路

• 算几何题吧，求一个凸包的面积，当然需要一些预处理。

代码

• csu_1806

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E.最长上升子序列

题意

• 给一个长度为\(N(N \le 10^5)\)的全排列，有些位置被挖掉，用0表示。
• 现在可以用被挖掉的值来填充0的位置，使得最后序列的最长上升子序列为\(N-1\)，求方案数。

思路

• 显然，如果|位移|>1的数大于1个，则无解，返回0即可。
• 如果|位移|>1的数(设为\(x,p[x]\)表示位置)只有1个，那么最后的方案数已经固定，需要判断：

1. \(x\)和\(p[x]\)之间的数满足位移情况，就是\(x\)若往右跳，则中间的数要左移。
2. 两边的数不能出现有位移的数。

• 如果没有|位移|>1的数，则判断位移1和位移-1的位置，以位移为1来说：

1. 此时有两种情况，这些数是被动移动的，或者此时位移1的数只有一个，但是是主动移动的，而这种情况可以视为前一种情况处理。
2. 找出位移1的所有位置，设\(L\)为最左的位置，\(R\)为最右的位置。
3. 首先\(1\verb'~'L-1\)和\(R+1\verb'~'N\)是不能出现有位移的数，并且\(L\verb'~'R\)也不能有保持原位的数，否则无解；
4. 假设与\(L\)相邻的连续0的个数为\(x\)，\(R\)位置为\(y\)，则可以让\([R,R+y]\)放置于\([L-x,L-1]\)位置上，则方案数有\(x(y + 1)\)种。
5. 两个数相邻（如\(32\)）的情况需要特判。

• 如果上述情况都没发生，则说明其余位置要么保持原位，要么是0。

1. 对于一段连续的0的段，显然这中间的数不会越位到该段之外，比如\(0,2,0,0\)中的数1不会出现在\(3,4\)位置上，否则\(2\)会发生位移。所以若最后上升序列长度为\(N-1\)，则该段上升序列长度为\(L-1\)，其余位置保持原位，即变成了原问题的子问题。
2. 用\(f[i]\)表示全0段长度为i且最长上升子序列长度为\(i-1\)的方案数。
3. 递推式：\(f[i]=2f[i-1]+2-f[i-2]\)
4. 但事实上，\(f[i]=(i-1)^2\)

• 可以自己多试一些小数据，比如\(0,0,2,0\)这样子的数据。

代码

• csu_1807

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F.地铁

题意

• 有\(N(N \le 10^5)\)个地铁站，\(M(M \le 10^5)\)条地铁路线。
• 每条路线需花费时间\(t_i\)，属于\(c_i\)号线。
• 换乘路线需要花费额外的\(|c_i-c_j|\)的时间。
• 求从地铁站\(1\)到\(N\)最少花费时间。

思路

• 最暴力的做法是，对于每个点连接的边，按\(c_i\)两两连边，时间花费为\(|c_i-c_j|\)，但这样菊花状的图就做不了了。
• 对于每个点，将其连边按照\(c_i\)从小到大构建新的点即可，最后跑遍单源最短路即可。

代码

• csu_1808

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H.Reverse

题意

• 给一个长度为\(N(N \le 10^5)\)的数。
• 求\[\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{R(i,j)}}\%(10^9+7)\] \(R(i,j)\)表示将区间\([i,j]\)翻转后新的数。

思路

• 考虑每个位置\(i\)对答案的贡献，即计算其他位置上的数到位置\(i\)的次数和当前位置的数不发生改变的次数。
• 可以观察到，出现次数的规律为\(1,2,...,i-1,i,i,i,....,i,i-1,...,2,1\)
• 即\([1,i]\)出现次数递增到\(i\)，\([i,n-i+1]\)均为\(i\)，\([n-i+1,n]\)则从\(i\)递减到\(1\)
• 位置不变则选取的区间在\([1,i)\)和\((i,n]\)内。

代码

• csu_1810

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I.Tree Intersection

题意

• 给一棵\(N(N \le 10^5)\)个点的树，每个点有一种颜色\(c_i\)。
• 对于每条树边，求在把该边去掉后，两棵树的点的颜色交集大小。

思路

• 对于每种颜色单独考虑

• 对于每种颜色的点，可以根据dfs序重新构建一棵新的树

• 对于每条路径，底部节点+1，顶部-1，表示这条路径的每条树边的交集+1。

代码

• csu_1811

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J.三角形和矩形

题意

• 给一个三角形和矩形，求面积交。

思路

• 比较无脑的做法就是套凸包面积交模板

代码

• csu_1812

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K.盖房子

题意

• 一个\(N \times M(1 \le N,M \le 10^3)\)矩形。
• 每个格子要么为空地，要么为障碍。
• 选取两个不相交的矩形，且每个矩形不能包含障碍的方案数\(mod(10^9+7)\)。

思路

• 利用单调栈，可以求出以某个点为顶点的矩形个数。

• 假设我们求出了以\((i,j)\)为左上角的矩形个数，并规定该矩形的左上角不会在另一个矩形的左边。

• 

• 那么可以发现这种做法有一种情况是统计不到的：

• 那么把整个矩形旋转90°，则可以统计上述的情况，但是同时会重复计数一些情况：

• 去掉这种情况即可。

代码

• csu_1813