2021.8.3考试总结[NOIP模拟29]

T1 最长不下降子序列

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数据范围$1e18$很不妙，但模数$d$只有$150$，考虑从这里突破。

计算的式子是个二次函数，结果只与上一个值有关，而模$d$情况下值最多只有$150$个，就证明序列会出现循环。

发现每个循环节的贡献之可能是$1$或$2$（考场没考虑到贡献$2$的情况直接爆$0$），并且贡献为$2$的情况（$1$个相等，$1$个大于）最多只有循环节长度$len$个。

那么就可以把贡献为$1$的循环节拎出来不计算，树装数组计算剩余的序列，最后加和即可。

$code:$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define int long long
 3 using namespace std;
 4 int t,n,a,b,c,d,cc[200],tmp,ans,len,pre[200],st;
 5 inline int lowbit(int x){ return x&(-x); }
 6 inline int read(){
 7     int x=0,f=1; char ch=getchar();
 8     while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
 9     while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
10     return x*f;
11 }
12 inline void write(int x){
13     char ch[20]; int len=0;
14     if(x<0) x=~x+1, putchar('-');
15     do{
16         ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4);
17         x/=10;
18     }while(x);
19     for(int i=len-1;i>=0;--i) putchar(ch[i]);
20 }
21 inline void insert(int x,int pos){
22     while(pos<=150){
23         cc[pos]=max(cc[pos],x);
24         pos+=lowbit(pos);
25     }
26 }
27 inline int query(int pos){
28     int res=0;
29     while(pos){
30         res=max(res,cc[pos]);
31         pos-=lowbit(pos);
32     }
33     return res;
34 }
35 signed main(){
36     n=read(); t=read(); a=read(); b=read(); c=read(); d=read();
37     if(n>1000000){
38     tmp=t; pre[t]=1; tmp%=d;
39         for(int i=2;i<=n;i++){
40             tmp=(tmp*tmp*a%d+tmp*b%d+c)%d;
41             if(pre[tmp]){ len=i-pre[tmp]; st=pre[tmp]-1; break; }
42             pre[tmp]=i;
43         }
44         ans=(n-st)/len-150;
45         n=st+len*150+(n-st)%len;
46     }
47     tmp=t; insert(1,tmp+1); tmp%=d;
48     for(int i=2;i<=n;i++){
49         tmp=(tmp*tmp*a%d+tmp*b%d+c)%d;
50         insert(query(tmp+1)+1,tmp+1);
51     }
52     ans+=query(150);
53     write(ans); putchar('\n');
54     return 0;
55 }

T1

T2 完全背包问题

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无思路，考场狗了个记搜。

正解分类讨论。当最小的$v$大于等于$l$时最多选$c$个，最大体积为$c*v_{max}$可以直接$DP$。

定义$f_{i,j,k}$为选到第$i$个，最多选$j$个，体积为$k$的方案是否合法。有：

$f_{k,i,j}=f_{k-1,i,j}$ $or$ $f_{k,i-1,j-v_k}$

当最小的$v$（定义为$v_0$）小于$l$时，如果存在体积为$W$的方案，那么一定存在体积为$W+v_0$的方案。直接那么只考虑体积在模$v_0$意义下的合法方案中最小的体积，询问时进行比较即可。

考虑$DP$，意义同上。有：

$f_{k,i,j}=\begin{cases}
min\left ( f_{k-1,i,j},f_{k,i-1,(j-v_k)mod(v_0)}+v_k \right ), &v_k\geq l\\min\left ( f_{k-1,i,j},f_{k,i,(j-v_k)mod(v_0)}+v_k \right ),&v_k<l
\end{cases}$

注意到$DP$状态转移是个环，就用最短路转移。建出一个点数为$v_0+1$的有向图，原点$S$向每个节点$j$连边，边权为$f_{k-1,i,j}$;每个节点$j$向节点$(j+v_k)mod(v_0)$连边，边权为$v_k$。原点与节点$j$的距离即为$f_{k,i,j}$。

注意这样跑最短路算出的$f_{k,i,j}$是正好选了$i$个体积大于等于$l$的物品的最小方案体积，最后要进行覆盖，使它符合定义。

$code:$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define int long long
 3 using namespace std;
 4 int n,m,v[55],l,c,w,f[55][31][10005];
 5 int head[20005],to[400005],nex[400005],ew[400005],num;
 6 bitset<300005>fl[31][31];
 7 inline int read(){
 8     int x=0,f=1; char ch=getchar();
 9     while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
10     while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
11     return x*f;
12 }
13 inline void write(int x){
14     char ch[20]; int len=0;
15     if(x<0) x=~x+1, putchar('-');
16     do{
17         ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4);
18         x/=10;
19     }while(x);
20     for(int i=len-1;i>=0;--i) putchar(ch[i]);
21 }
22 void spfa(int k,int i){
23     bool vis[10005]={0};
24     queue<int>q;
25     q.push(v[1]); vis[v[1]]=1; f[k][i][v[1]]=0;
26     while(!q.empty()){
27         int x=q.front();
28         for(int j=head[x];j;j=nex[j]){
29             int vv=to[j];
30             if(f[k][i][vv]<=f[k][i][x]+ew[j]) continue;
31             f[k][i][vv]=f[k][i][x]+ew[j];
32             if(vis[vv]) continue;
33             vis[vv]=1; q.push(vv);
34         }
35         vis[x]=0; q.pop();
36     }
37 }
38 inline void add(int a,int b,int d){
39     to[++num]=b; nex[num]=head[a]; head[a]=num; ew[num]=d;
40 }
41 void s_l_e(){
42     fl[0][0][0]=1;
43     for(int i=1;i<=n;i++)  for(int j=0;j<=c;j++)
44         for(int k=1;k<c*v[n];k++)
45             if(k>=v[i]) fl[i][j][k]=fl[i-1][j][k]|fl[i][j-1][k-v[i]];
46             else fl[i][j][k]=f[i-1][j][k];
47     while(m--){
48         w=read();
49         bool flag=0;
50         if(w>c*v[n]){ puts("No"); continue; }
51         puts(fl[n][c][w]?"Yes":"No");
52     }
53 }
54 void _o_v_(){
55     for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=c;j++)
56         for(int k=0;k<=v[1];k++) f[i][j][k]=3e18;
57     f[0][0][0]=0;
58     for(int k=1;k<=n;k++)
59         if(v[k]>=l){
60             for(int i=0;i<=c;i++)
61                 for(int j=0;j<v[1];j++)
62                     if(!i) f[k][i][j]=f[k-1][i][j];
63                     else f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k][i-1][(j-v[k]%v[1]+v[1])%v[1]]+v[k]);
64         }
65         else
66             for(int i=0;i<=c;i++){
67                 memset(head,0,sizeof(head)); num=0;
68                 for(int j=0;j<v[1];j++)
69                     add(j,(j+v[k])%v[1],v[k]), add(v[1],j,f[k-1][i][j]);
70                 spfa(k,i);
71             }
72     for(int i=1;i<=c;i++)
73         for(int j=0;j<v[1];j++)
74             f[n][i][j]=min(f[n][i][j],f[n][i-1][j]);
75     while(m--){
76         w=read();
77         puts(w>=f[n][c][w%v[1]]?"Yes":"No");
78     }
79 }
80 signed main(){
81 //    freopen("bag0.in","r",stdin);
82 //    freopen("out","w",stdout);
83     n=read(); m=read();
84     for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=read();
85     sort(v+1,v+n+1);
86     l=read(); c=read();
87     if(v[1]>=l) s_l_e();
88     else        _o_v_();
89     return 0;
90 }

T2

T3 最近公共祖先

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树剖，每次染色时跳父亲，修改路径上每个点除了链上子树其他子树中所有点的最大值，遇到已修改过的点就停，避免重复修改，可以保证每个点只被修改一次。

查询时单点查询即可。

$code:$

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 #define ld rt<<1
  3 #define rd (rt<<1)|1
  4 using namespace std;
  5 const int NN=1e5+5;
  6 int n,m,num,to[NN<<1],nex[NN<<1],head[NN],w[NN],op;
  7 int dep[NN],siz[NN],son[NN],top[NN],fa[NN],dfn[NN],id[NN],cnt;
  8 char opt[10];
  9 bool vis[NN];
 10 inline int read(){
 11     int x=0,f=1; char ch=getchar();
 12     while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
 13     while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
 14     return x*f;
 15 }
 16 inline void write(int x){
 17     char ch[20]; int len=0;
 18     if(x<0) x=~x+1, putchar('-');
 19     do{
 20         ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4);
 21         x/=10;
 22     }while(x);
 23     for(int i=len-1;i>=0;--i) putchar(ch[i]);
 24 }
 25 inline void add(int a,int b){
 26     to[++num]=b; nex[num]=head[a]; head[a]=num;
 27     to[++num]=a; nex[num]=head[b]; head[b]=num;
 28 }
 29 void dfs1(int f,int s){
 30     fa[s]=f; dep[s]=dep[f]+1; siz[s]=1;
 31     for(int i=head[s];i;i=nex[i]){
 32         int v=to[i];
 33         if(v==f) continue;
 34         dfs1(s,v);
 35         siz[s]+=siz[v];
 36         if(siz[v]>siz[son[s]]) son[s]=v;
 37     }
 38 }
 39 void dfs2(int t,int s){
 40     top[s]=t; dfn[s]=++cnt; id[cnt]=s;
 41     if(!son[s]) return;
 42     dfs2(t,son[s]);
 43     for(int i=head[s];i;i=nex[i]){
 44         int v=to[i];
 45         if(v!=fa[s]&&v!=son[s]) dfs2(v,v);
 46     }
 47 }
 48 struct segment_tree{
 49     int l[NN<<2],r[NN<<2],mx[NN<<2],laz[NN<<2];
 50     void pushup(int rt){
 51         if(l[rt]==r[rt]) return;
 52         mx[rt]=max(mx[ld],mx[rd]);
 53     }
 54     void pushdown(int rt){
 55         if(!laz[rt]||l[rt]==r[rt]) return;
 56         mx[ld]=max(laz[rt],mx[ld]); mx[rd]=max(laz[rt],mx[rd]);
 57         laz[ld]=max(laz[ld],laz[rt]); laz[rd]=max(laz[rd],laz[rt]);
 58         laz[rt]=0;
 59     }
 60     void build(int rt,int opl,int opr){
 61         l[rt]=opl; r[rt]=opr; mx[rt]=-1;
 62         if(opl==opr) return;
 63         int mid=opl+opr>>1;
 64         build(ld,opl,mid);
 65         build(rd,mid+1,opr);
 66     }
 67     void update(int rt,int opl,int opr,int val){
 68         if(l[rt]>=opl&&r[rt]<=opr){
 69             mx[rt]=max(mx[rt],val);
 70             laz[rt]=max(laz[rt],val);
 71             return;
 72         }
 73         pushdown(rt);
 74         int mid=l[rt]+r[rt]>>1;
 75         if(opl<=mid) update(ld,opl,opr,val);
 76         if(opr>mid) update(rd,opl,opr,val);
 77         pushup(rt);
 78     }
 79     int query(int rt,int pos){
 80         if(l[rt]==r[rt]) return mx[rt];
 81         pushdown(rt);
 82         int mid=l[rt]+r[rt]>>1,ans=-1;
 83         if(pos<=mid) return query(ld,pos);
 84         else return query(rd,pos);
 85     }
 86 }s;
 87 void UPD(int x){
 88     s.update(1,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,w[x]);
 89     while(fa[x]!=0&&!vis[x]){
 90         vis[x]=1;
 91         s.update(1,dfn[fa[x]],dfn[x]-1,w[fa[x]]);
 92         s.update(1,dfn[x]+siz[x],dfn[fa[x]]+siz[fa[x]]-1,w[fa[x]]);
 93         x=fa[x];
 94     }
 95 }
 96 signed main(){
 97     n=read(); m=read();
 98     for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
 99     for(int i=1;i<n;i++) add(read(),read());
100     dfs1(0,1); dfs2(1,1); s.build(1,1,n);
101     while(m--){
102         scanf("%s",opt); op=read();
103         if(opt[0]=='M') UPD(op);
104         else write(s.query(1,dfn[op])), putchar('\n');
105     }
106     return 0;
107 }

T3