UVa11054 Gergovia的酒交易(数学归纳法)

直线上有\(n\)个等距村庄，每个村庄要么买酒，要么卖酒。设第\(i\)个村庄对酒的需求为\(A_i\)(\(-1000 \leqslant A_i \leqslant 1000\))，其中\(A_i>0\)表示买酒，\(A_i<0\)表示卖酒。所有村庄供需平衡，即所有\(A_i\)之和等于0。

把\(k\)个单位的酒运到相邻村庄去需要\(k\)个单位的劳动力，问最少需要多少劳动力才能满足所有的村庄的要求。输出保证在64位带符号整数范围内。

输入输出样例

输入

5
5 -4 1 -3 1
6
-1000 -1000 -1000 1000 1000 1000
0

输出

9
9000

题解

这题可以采用数学归纳法的角度进行思考，

首先，我们先看基准情形，第\(1\)个村庄对酒的需求为\(A_i\)(可能需要买，可能需要卖)。那么，不管是买酒还是卖酒，都需要第\(1\)个村庄和第\(2 \sim n\)个村庄之间存在大小为\(|A_i|\)的酒搬运(可能酒交易的双方并不是第\(1\)个村庄和第\(2\)个村庄，但是必须经由这两个村庄)。

接下来我们开始归纳，我们设\(last_i = \sum_{j=1}^{j=i}A_j\)表示第\(1 \sim i\)个村庄对酒的总需求（可能需要买，可能需要卖）。那么，不管是买酒还是卖酒，都需要第\(i\)个村庄和第\(i+1\)个村庄之间存在大小为\(|last_i|\)的酒搬运(可能部分酒交易的双方并不是第\(i+1\)和\(i\)个村庄，但是必须经由这两个村庄)。我们用\(ans_i\)表示第\(1 \sim i\)个村庄需要的总搬运需求。

综上，\(ans_i\)的递推关系式可以表述如下：

\[\begin{equation}
ans_i = \left\{
\begin{matrix}
|A_i| , \quad i = 1 \\
ans_{i - 1} + |last_i|, \quad 1 \leqslant i \leqslant n
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
\]

如果你觉得以上的数学式子还是过于抽象，那么可以继续看下面代入值计算的例子。我们设村庄数量为\(n=4\)，村庄\(1 \sim 4\)的酒需求分别是\(-3, +4, -5, +4\)，那么我们模拟算法的过程如下图所示：

可以看到，最后求得的4个村庄的总共搬运劳动力\(ans_4 = 8\)。

我们再看村庄\(1 \sim 4\)的酒需求分别是\(+3, -4, +5, -4\)的情况。由上面的推导可知，这种情况其实只是把每个村庄的买卖情况取反了，但最后的总搬运量不变。我们模拟算法的过程如下图所示：

可以看到，最后求得的4个村庄的总共搬运劳动力和上面的情况一样，仍然是\(ans_4 = 8\)。由此可得，我们的算法正确。算法的Python代码实现如下：

while True:
    n = int(input())
    if n == 0:
        break
    A = list(map(int, input().strip().split()))
    ans, last = 0, 0
    for i in range(n):
        last += A[i]
        ans += abs(last)
    print(ans)