微分方程——基本概念和常微分方程的发展史

1.2 基本概念和常微分方程的发展史

自变量、未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程；未知函数取复值或变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程。若无特别声明，以下均指实变量的实值微分方程。

1.2.1 常微分方程基本概念

(1) 常微分方程和偏微分方程

微分方程就是联系自变量 、未知函数及其的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程。一般的n阶常微分方程具有形式：

\[F\left( {x,y,\frac{{dy}}{{dx}}, \cdots ,\frac{{{d^n}y}}{{d{x^n}}}} \right) = 0\]

(1.38)

微分方程中出现的未知函数最高阶的阶数称为微分方程的阶数。

此后，我们把常微分方程称为“微分方程”，有时更简称为“方程”。

(2) 线性和非线性

如果方程(1.38)的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称(1.38)为n阶线性微分方程。一般n阶线性微分方程具有形式

不是线性方程的方程称为非线性方程。例如方程

(3) 解和隐式解

如果函数$y = \varphi (x)$代入方程(1.38)后，能使它变为恒等式，则称函数$y = \varphi (x)$为方程(1.38)的解。如果关系式$\varPhi (x,y) = 0$决定的函数$y = \varphi (x)$是方程(1.38)的解，称为称$\varPhi (x,y) = 0$为方程(1.38)的隐式解，隐式解也称为“积分”。为了简单起见，以后我们不把解和隐式解加以区别，统称为方程的解。

(4) 通解和特解

我们把含有n个独立的任意常数$c_1,c_2,\cdots,c_n$的解

称为n阶方程(1.38)的通解。为了确定微分方程一个特定的解，我们通常给出这个解所必须的条件，这就是所谓的定解条件。常见的定解条件是初值条件和边值条件。求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题。当定解条件为初值条件时，相应的定解问题，就称为初值问题。我们主要讨论初值问题。

我们把满足初值条件的解称为微分方程的特解。初值条件不同，对应的特解也不同。一般来说，特解可以通过初值条件的限制，从通解中确定任意常数而得到。

(5) 积分曲线和方向场

一阶微分方程

的解$y = \varphi (x)$表示$Oxy$平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线，而通解$y=\varphi(x,c)$表示平面上的一族曲线，特别$\varphi(x_0)=y_0$则为过点$(x_0,y_0)$的一条积分曲线，积分曲线上过每一点的切线斜率dy/dx为方程右端f(x,y)在该点处的值；反之，如有一条曲线，其上每一点的切线斜率为f(x,y)，则此曲线为积分曲线。

可以用f(x,y)在Oxy平面某区域D上定义过各点的小线段的斜率方向，这样的区域D称为方程(1.47)所定义的方向场，又称向量场。可以用方向场定义相应的微分方程(1.47)。

方向场中方向相同的曲线f(x,y)=k称为等倾斜线或等斜线。可以利用取不同k值的等斜线来差别积分曲线的走向。

(6) 微分方程组

用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。习惯将一般n阶常微分方程写为解出最高阶导数的形式

取变换

则n阶方程(1.48)可以用一阶方程组

代替，即可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组

或简单写成向量形式

其中

(7) 驻定与非驻定，动力系统

如果方程右端不含自变量t

则称为驻定(自治)的，右端含t的微分方程组(1.49)称为非驻定(非自治)的。

对非驻定微分方程组(1.49)，可以引进新的时间$\tau$，方程组(1.49)可化为

成为n+1维空间(t;y)驻定方程。

驻定微分方程组(1.50)的过y的解$\varphi(t;y)$可以视t为参数，有非常好的性质：可看成为D到D的单参数变换群，也就是：如果记$\Phi_t(y)=\varphi(t;y)$，令$\Phi_t(y)$为参数t的y∈D的映射(变换)，则映射在D上满足恒同性$\varPhi_0(y)=y$和可加性$\varPhi_{t_1+t_2}(y)=\varPhi_{t_1}(\varPhi_{t_2}(y))=\varPhi_{t_2}(\varPhi_{t_1}(y))$，满足上述性质的映射称为动力系统。

(8) 相空间、奇点和轨线

不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间。积分曲线在相空间中的投影称为轨线。对驻定微分方程组(1.50)，方程组f(y)=0的解y=y*表示相空间中的点，它满足微分方程组，故称为平衡解(驻定解、常数解)，又称为奇点(平衡点)。

对平面一阶驻定微分方程组

其相空间(x,y)又称为相平面。驻定方程的积分曲线有特殊的性质：时间轴t的平移不影响方向场(因为右边与t无关)，即可以在空间(x,y,t)将方程的积分曲线投影到(x,y)平面上，方程组(1.51变为

其在Oxy平面上的积分曲线即为方程组(1.51)轨线。同样可用Oxy平面上方程(1.52)的方向场进行研究，直接在相平面上进行讨论)。

可以应用等倾斜线方法确定轨线的方向，其中相平面上满足f(x,y)=0的曲线表示轨线的x方向变化为0，称为垂直等倾斜线，过曲线的点的轨线的切线垂直于x坐标轴；而g(x,y)=0的曲线称为水平等倾斜线，过曲线的点的轨线的切线平行于x坐标轴。垂直等倾斜线与水平等倾斜线的交点$(x_0,y_0)$为奇点，方程有解$x(t)=x_0,y(t)=y_0$。可以通过垂直等倾斜线与水平等倾斜线在相平面上划分区域判断轨线的走向。

常微分方程的发展历史

常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用， 随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解决了前者。翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。

有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。

1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。他还把一阶齐次方程使其变量分离。1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。

1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。

1734 年，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)给出了恰当方程的定义。他与克莱罗(A.C. Clairaut，法国，1713-1765)各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。那么对非恰当方程如何求解呢？1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。这样，到 18 世纪 40 年代，一阶常微分方程的初等方法都已清楚了，与此相联系，通解与特解的问题也弄清楚了。

1734 年，克莱罗在他的著作中处理了现在以他的名字命名的方程，他给出了一个新的解，从而提出了奇解的问题。奇解是不能通过给积分常数以一个确定的值由通解来求得。欧拉、拉普拉斯(P.S.Laplace ，法国，1749-1827 )、达朗贝尔(J.Alembert，法国，1717-1783) 都涉及奇解这个问题，然而只有拉格朗日(J.Lagrange，意大利，1736-1813)对奇解与通解的联系作了系统的研究，他给出了从通解消去常数项从而得到奇解的一般方法．但在奇解理论中，有些特殊的困难他并没有认识到。奇解的完整理论是19 世纪发展起来的。其中黎曼(G.Riemann ，德国，1826-1866 )作出了突出的贡献。

1728 年，欧拉由于力学问题的推动，把一类二阶微分方程用变量替换成一阶微分方程组，这标志着二阶方程的系统研究的开始。此后，欧拉完整地解决了常系数线性齐次方程的求解问题和非齐次的n阶线性常微分方程的求解问题。拉格朗日在1762 年至1765 年间又对变系数齐次线性微分方程进行了研究。

在18 世纪前半叶，常微分方程的研究重点是对初等函数施行有限次代数运算、变量代换和不定积分把解表示出来：至18 世纪下半叶，数学家们又讨论了求线性常微分方程解的常数变易法和无穷级数解法等方法：至18 世纪末，常微分方程己发展成一个独立的数学分支。

19 世纪，柯西(A.L.Cauchy ，法国，1789-185)、刘维尔(J.Liouville，法国，1809-1882)、 维尔斯特拉斯(K.Weierstrass，德国，1815-1879)和皮卡(E.Picard ，法国，1865-1941)对初值问题的存在唯一性理论作了一系列研究，建立了解的存在性的优势函数、逐次逼近等证明方法。这些方法又可应用于高阶常微分方程和复数域中的微分方程组法国数学家庞加莱(H.Poincare，1854-1912)和俄国的李雅普诺夫(Liapunov，1857-1918)共同奠定了稳定性的理论基础。自群论引入常微分方程后，使常微分方程的研究重点转向解析理论和定性理论。19世纪末，法国数学家庞加莱连续发表了4 篇文章，依赖几何拓扑直观对定性理论进行了研究， 李雅普诺夫应用十分严密的分析法又进行了研究，从而奠定了微分方程定性理论的基础。由于行星或卫星轨道的稳定性问题，周期解的重要性提到日程上来。西格尔(L.Siegel ，德国，1896-1981)创立了周期系统的线性齐次微分方程的数学理论。在 1877 年的论文中，他求出了对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解，并证明了二阶微分 方程有周期解．

20 世纪，微分方程进入了广泛深入发展阶段。随着大量的边缘学科的产生和发展，出现了不少新型的微分方程(组)，微分方程在无线电、飞机飞行、导弹飞行、化学反应等方面得到了广泛的应用，从而进一步促进了这一学科的发展，使之不断完善，对它的研究也从定性上升到定量阶段。像动力系统、泛函微分方程、奇异摄动方程以及复域上的定性理论等等都是在传统微分方程的基础上发展起来的新分支。