【BZOJ-4326】运输计划树链剖分 + 树上差分 + 二分

4326: NOIP2015 运输计划

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Description

公元 2044 年，人类进入了宇宙纪元。L 国有 n 个星球，还有 n−1 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 n−1 条航道连通了 L 国的所有星球。小 P 掌管一家物流公司，该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi 号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 j，任意飞船驶过它所花费的时间为 tj，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。为了鼓励科技创新， L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 m 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时，小 P 的物流公司的阶段性工作就完成了。如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞，试求出小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？

Input

第一行包括两个正整数 n,m，表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量，星球从 1 到 n 编号。接下来 n−1 行描述航道的建设情况，其中第 i 行包含三个整数 ai,bi 和 ti，表示第 i 条双向航道修建在 ai 与 bi 两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 ti。数据保证 1≤ai,bi≤n 且 0≤ti≤1000。接下来 m 行描述运输计划的情况，其中第 j 行包含两个正整数 uj 和 vj，表示第 j 个运输计划是从 uj 号星球飞往 vj号星球。数据保证 1≤ui,vi≤n

Output

输出文件只包含一个整数，表示小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

Sample Input

6 3
1 2 3
1 6 4
3 1 7
4 3 6
3 5 5
3 6
2 5
4 5

Sample Output

HINT

将第 1 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,12,11，故需要花费的时间为 12。

将第 2 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：7,15,11，故需要花费的时间为 15。

将第 3 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：4,8,11，故需要花费的时间为 11。

将第 4 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,15,5，故需要花费的时间为 15。

将第 5 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,10,6，故需要花费的时间为 11。

故将第 3 条或第 5 条航道改造成虫洞均可使得完成阶段性工作的耗时最短，需要花费的时间为 11。

Source

Solution

要求最长路径最短，考虑二分

二分答案mid，然后思考如何check这个答案。

首先，如果一条路径M，他的长度是<=mid 那么他对答案是无影响的，如果他的长度>mid我们显然需要删掉这条路径上的一条边。而且，如果删掉这条边后，答案mid可行，那么删掉的这条边权必然满足：>=dis-mid

那么一次二分mid，会得到K条dis>mid的路径，那么要使mid满足答案，我们需要删的边应该是这K条路径的交

求交的方法，只需要在树上打上差分标记。最后DFS一遍。

这里D20和UOJ的ET会卡常，实测效果特别优秀的卡常语句：

这样的时间复杂度是$O（nlogn）$的

求LCA的方法，比较推荐链剖、Tarjan

启发：这种树上差分的思想比较重要，一定要能想到

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<cstring>

using namespace std;

inline int read()

{

    int x=; char ch=getchar();

    while (ch<'' || ch>'') {ch=getchar();}

    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}

    return x;

}

#define MAXN 300010

int N,M;

struct EdgeNode{int next,to,t;}edge[MAXN<<];

int head[MAXN],cnt=;

void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].t=w;}

void InsertEdge(int u,int v,int w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}

int size[MAXN],fa[MAXN],deep[MAXN],son[MAXN],top[MAXN],tim[MAXN];

inline void DFS_1(int now,int last)

{

    size[now]=;

    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)

        if (edge[i].to!=last)

            {

                deep[edge[i].to]=deep[now]+edge[i].t;

                fa[edge[i].to]=now;

                tim[edge[i].to]=edge[i].t;

                DFS_1(edge[i].to,now);

                size[now]+=size[edge[i].to];

                if (size[edge[i].to]>size[son[now]]) son[now]=edge[i].to;

            }

}

inline void DFS_2(int now,int chain)

{

    top[now]=chain;

    if (son[now]) DFS_2(son[now],chain);

    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)

        if (edge[i].to!=fa[now] && edge[i].to!=son[now])

            DFS_2(edge[i].to,edge[i].to);

}

inline int LCA(int u,int v)

{

    while (top[u]!=top[v])

        {

            if (deep[top[u]]<deep[top[v]]) swap(u,v);

            u=fa[top[u]];

        }

    if (deep[u]>deep[v]) swap(u,v);

    return u;

}

struct RoadNode

{

    int u,v,lca,dis;

    RoadNode (int u=,int v=) : u(u),v(v)

        {lca=LCA(u,v); dis=deep[u]+deep[v]-(deep[lca]<<);}

}road[MAXN];

int delta[MAXN];

inline void DFS(int now,int last)

{

    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)

        if (edge[i].to!=last)

            DFS(edge[i].to,now),delta[now]+=delta[edge[i].to];

}

inline bool check(int x)

{

    int maxx=,num=;

    for (int i=; i<=N; i++) delta[i]=;

    for (int i=; i<=M; i++)

        if (road[i].dis>x)

            maxx=max(maxx,road[i].dis-x),num++,

            delta[road[i].u]++,delta[road[i].v]++,delta[road[i].lca]-=;

    if (!num) return ;

    DFS(,);

    for (int i=; i<=N; i++)

        if (delta[i]==num && tim[i]>=maxx) return ;

    return ;

}

int main()

{

    N=read(); M=read();

    for (int u,v,w,i=; i<=N-; i++) u=read(),v=read(),w=read(),InsertEdge(u,v,w);

    DFS_1(,); DFS_2(,);

    int maxx=;

    for (int i=; i<=M; i++) road[i]=RoadNode(read(),read()),maxx=max(maxx,road[i].dis);

//    for (int i=1; i<=M; i++) printf("%d %d %d %d\n",road[i].u,road[i].v,road[i].lca,road[i].dis);

    int l=,r=maxx;

    while (l<=r)

        {

            int mid=(l+r)>>;

            if (check(mid)) l=mid+; else r=mid-;

        }

    printf("%d\n",l);

    return ;

}