[NOIP]模拟17 题解

A.入阵曲

部分分很肥，正解写得常数稍大就会和暴力一个分，考试的时候写什么自己考虑。(滑稽

部分分的循环边界手抖写错了-25 (原本暴力分中的10分都没了啊啊啊)

没写挂的话应该有75，其实就是二维前缀和+暴力枚举点对统计+$a[i][j]$都相等时只枚举子矩形大小再乘上这种大小出现的次数。

正解：$(sum[r]-sum[l-1])\% K=0 \rightarrow sum[r]\% K=sum[l-1]\% K$

枚举行数$i,j$和列数$k$,维护i行和j行之间、k列左侧在%K意义下同余矩阵的个数，用桶来实现。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=;
int n,m;
ll K,ans;
int a[N][N];
ll sum[N][N],sum1[N],cnt[];
int read()
{
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return x*f;
}
 
int main()
{
    n=read();m=read();K=1LL*read();
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++)
            a[i][j]=read();
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++)
            sum[i][j]=sum[i-][j]+sum[i][j-]-sum[i-][j-]+1LL*a[i][j];
    for(int i=;i<n;i++)
        for(int j=i+;j<=n;j++)
        {
            cnt[]=;
            for(int k=;k<=m;k++)
            {
                sum1[k]=(sum[j][k]-sum[i][k]+K)%K;
                ans+=cnt[sum1[k]];
                cnt[sum1[k]]++;
            }
            for(int k=;k<=m;k++)cnt[sum1[k]]=;
        }
    cout<<ans<<endl;
    return ;
}

B.将军令

我考场都能想到的sb贪心。每次取出深度最大且未被覆盖的点，在它的K级祖先上驻扎即可。前者用堆维护，后者直接暴力修改覆盖状态，注意向上修改时不要只遍历和它在一条链上的。

正确性？读者自证不难。(逃

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#define pa pair<int,int>
#define re register
using namespace std;
int read()
{
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return x*f;
}
const int N=;
int n,K,t;
int to[N<<],nxt[N<<],head[N],tot;
inline void add(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
int dep[N],fa[N];
priority_queue<pa> q;
void dfs1(int x,int deep)
{
    dep[x]=deep;
    for(re int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(!dep[y])dfs1(y,deep+),fa[y]=x;
    }
    return ;
}
int cover[N],anc,ans;
void getan(int x,int rest)
{
    if(!rest||x==)
    {
        anc=x;
        return ;
    }
    getan(fa[x],rest-);
    return ;
}
void dfs2(int x,int rest,int f)
{
    cover[x]=;
    if(!rest)return ;
    for(re int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==f)continue;
        dfs2(y,rest-,x);
    }
    return ;
}
 
int main()
{
    n=read();K=read();t=read();
    for(re int i=;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs1(,);
    for(re int i=;i<=n;i++)
        q.push(make_pair(dep[i],i));
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        if(cover[x])continue;
        getan(x,K);
        //cout<<anc<<endl;
        dfs2(anc,K,-);
        ans++;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return ;
}

C.星空

区间状态反转可以看作区间异或1，但区间操作不好处理，考虑通过差分转化为单点操作。即把对原数组上$[L,R]$区间的操作转化为差分数组上$L-1$和$R$两个点的操作。这里用到了异或差分：$dif[i]=a[i]\ xor\ a[i+1]$

所以问题变成了：有一个01串，每次对其中两个点$xor\ 1$，需要多少次把这个串的每一位都变成0。(差分数组全0对应原数组全1)

可以发现，消去两个1的费用与他们之间的距离有关。bfs预处理出来后，问题再次得到转化：每次取出一对物品，每对物品取出都有一定代价，如何取出使得代价最小。由于不亮的灯泡很少，这个问题完全可以状压解决。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int read()
{
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return x*f;
}
const int N=;
int n,m,K;
int a[N],op[N],dif[N];
int pos[N],sz;
int vis[N],dis[][],d[N];
int find0[N<<],dp[N<<];
void bfs(int node)
{
    memset(d,,sizeof(d));
    memset(vis,,sizeof(vis));
    queue<int> q;
    q.push(node);
    vis[node]=;d[node]=;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=;i<=m;i++)
        {
            int s1=x+op[i],s2=x-op[i];
            if(s1<=n&&!vis[s1])
            {
                q.push(s1);
                d[s1]=d[x]+;
                vis[s1]=;
            }
            if(s2>=&&!vis[s2])
            {
                q.push(s2);
                d[s2]=d[x]+;
                vis[s2]=;
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    n=read();K=read();m=read();
    for(int i=;i<=K;i++)
        a[read()]=;
    for(int i=;i<=m;i++)
        op[i]=read();
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        dif[i]=a[i]^a[i+];
        if(dif[i])pos[++sz]=i;
    }
    for(int i=;i<=sz;i++)
    {
        bfs(pos[i]);
        for(int j=;j<=sz;j++)
            dis[i][j]=d[pos[j]];
    }
    for(int s=;s<(<<sz);s++)
    {
        find0[s]=sz-;
        for(int i=;i<sz;i++)
            if(((s>>i)&)==)
            {
                find0[s]=i;
                break;
            }
    }
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[]=;
    for(int s=;s<(<<sz);s++)
        for(int i=find0[s]+;i<sz;i++)
        {
            if(((s>>i)&)==&&dis[find0[s]+][i+])
            {
                int now=(s|(<<find0[s])|(<<i));
                dp[now]=min(dp[now],dp[s]+dis[find0[s]+][i+]);
                //cout<<dp[now]<<endl;
            }
        }
    cout<<dp[(<<sz)-]<<endl;
    return ;
}