【POJ2992】Divisors

【题目概括】

计算\(C_n^k\)的因子个数。

【思路要点】

• 首先考虑将组合数展开，展开后就是\(\frac {n!}{k!\times (n-k)!}\)。
• 这样就是计算出这些质因子的个数，然后将插值相乘就是答案了。
• 但是数据较大，所以我们考虑一开始先将所有答案预处理来。
• 如果是暴力求解，那么就会超时。
• 我们考虑用归纳法来计算，如果计算出\(C_{n}^{k}\)，那么如何计算出\(C_n^{k+1}\)。
• 那么将式子展开，就相差了\(k+1\)和\(n-k+1\)，就\(O(n)\)计算一次。
• 时间复杂度 \(\mathcal O(n^3)\)

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#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 505;

int x, y, primeCnt;
bool ntPrime[N];
ll tot[N];
int prime[N];
ll ans[N][N];

void getPrime(int lim) {
  for (int i = 2; i <= lim; i++) {
    if (!ntPrime[i])
      prime[++primeCnt] = i;
    for (int j = 1; j <= primeCnt && i * prime[j] <= lim; j++) {
      ntPrime[i * prime[j]] = 1;
      if (i % prime[j])
        break;
    }
  }
}

void divide(int x, int tp) {
  for (int i = 1, cnt; i <= primeCnt; i++) {
    if (x % prime[i] == 0) {
      cnt = 0;
      while (x % prime[i] == 0) {
        x /= prime[i];
        cnt++;
      }
      tot[i] += tp * cnt;
    }
  }
}

ll solve(int x, int y) {
  for (int i = x; i >= (x - y + 1); i--)
    divide(i, 1);
  for (int i = 1; i <= y; i++)
    divide(i, -1);
  ll ans = 1;
  for (int i = 1; i <= primeCnt; i++)
    ans *= tot[i] + 1;
  return ans;
}

void init() {
  for (int i = 0; i <= 432; i++)
    for (int j = 0; j <= 432; j++)
      ans[i][j] = 1ll;
  for (int i = 1; i <= 432; i++) {
    memset(tot, 0, sizeof tot);
    ans[i][1] = solve(i, 1);
    for (int j = 2; j <= (i >> 1); j++) {
      divide(j, -1);
      divide(i - j + 1, 1);
      for (int k = 1; k <= primeCnt; k++)
        ans[i][j] *= tot[k] + 1;
    }
  }
}

int main() {
  getPrime(450);
  init();
  while (scanf("%d %d", &x, &y) != EOF) {
    y = min(y, x - y);
    printf("%lld\n", ans[x][y]);
  }
  return 0;
}