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题意:询问给出一棵无根树上任意两点$a,b$,求关于所有点$i$,$dist(a,i) = dist(b,i)$的点的数量。要求每一次询问在$O(log n)$的时间复杂度内完成。

解题思路

由于在树上求距离,并且还要$O(log n)$,自然会联想到$LCA$。由于边权是$1$,那么点到根的距离就是该点的深度。这个深度可以在$dfs$预处理的过程中处理完成。那么两个点之间的距离就是两个点到根节点的距离减去两点的LCA到根节点距离的两倍。这个随便yy一下就好了。

得到$a,b$间的距离$D$以后,分类讨论。(设$a$的深度$\geq \ b$的深度)

(1)若$D$为奇数,则一定不存在任何一个点到$a,b$的距离相等。因此得到$0$.

(2)若$D$为偶数:

(一)$a,b$两点分别在$LCA$的两棵子树上。

①$a,b$两点深度相同。此时很简单,最近的一个距离相等的点就是$a,b$的$LCA$。也很容易想到$LCA$的祖先也全都符合。但真的只有这些吗?$LCA$的祖先的其他儿子好像也满足诶……$LCA$的其他子树(除了$a,b$)好像也满足诶……因此我们得到结论,在这种情况下得到的答案应当是$n - size[LCA的左子树] - size[LCA的右子树]$

②深度不同。那么我们找到中间节点$Mid$,$Mid$里除有$a$的子树外其他子树都符合,并且$Mid$以上的节点都不会符合,因此答案是$size[Mid] - size[有a的那棵子树]$

(二)$a,b$在同一条链上,即$b$就是$LCA$

和①类似,中间深度的节点减去含$a$的子树即可

因此我们要做的不过是在$dfs$的过程中维护好$size$和$dep$。但一直困惑我的是有$a$的那个子树怎么快速得到?答案其实很暴力……再倍增一遍……

Code

太坑了!调试了一个多小时竟然是因为$LCA$的预处理dfs中$(1<<i)$打成了$i$,导致$TLE$得莫名其妙。还是$LCA$板子不熟啊……

/** This Program is written by QiXingZhi **/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define r read()
#define Max(a,b) (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define Min(a,b) (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = ;
const int INF = ;
inline int read(){
int x = ; int w = ; register int c = getchar();
while(c ^ '-' && (c < '' || c > '')) c = getchar();
if(c == '-') w = -, c = getchar();
while(c >= '' && c <= '') x = (x << ) +(x << ) + c - '', c = getchar();
return x * w;
}
int n,x,y,ans;
int f[N][],dep[N],size[N];
vector <int> G[N];
inline void AddEdge(int u, int v){
G[u].push_back(v);
}
void LcaInit(int x, int father, int _d){
dep[x] = _d;
f[x][] = father;
size[x] = ;
for(int i = ; (<<i) <= _d; ++i){
f[x][i] = f[f[x][i-]][i-];
}
int sz,to;
sz = G[x].size();
for(int i = ; i < sz; ++i){
to = G[x][i];
if(to == father) continue;
LcaInit(to,x,_d+);
size[x] += size[to];
}
}
inline int GetDepNode(int x, int _d){
int tmp = x;
for(int i = ; i >= ; --i){
if(dep[tmp]-(<<i) < _d) continue;
tmp = f[tmp][i];
}
return tmp;
}
inline void LCA(int a, int b){
if(dep[a] < dep[b]){
swap(a,b);
}
int _a = a, _b = b;
for(int i = ; i >= ; --i){
if(dep[a]-(<<i) < dep[b]) continue;
a = f[a][i];
}
int LCA;
if(a == b){
LCA = a;
}
else{
for(int i = ; i >= ; --i){
if(f[a][i] == f[b][i]) continue;
a = f[a][i];
b = f[b][i];
}
LCA = f[a][];
}
int Dist = dep[_a]-dep[LCA]+dep[_b]-dep[LCA];
if(Dist & ){
ans = ;
return;
}
else{
if(_b == LCA){
int dep_Mid = (dep[_a] + dep[_b]) / ;
ans = size[GetDepNode(_a,dep_Mid)] - size[GetDepNode(_a,dep_Mid+)];
}
else{
if(dep[_a] != dep[_b]){
int dep_Mid = dep[_a] - (Dist/);
ans = size[GetDepNode(_a,dep_Mid)] - size[GetDepNode(_a,dep_Mid+)];
}
else{
ans = n - size[GetDepNode(_a,dep[LCA]+)] - size[GetDepNode(_b,dep[LCA]+)];
}
}
}
}
int main(){
n = r;
for(int i = ; i < n; ++i){
x = r, y = r;
AddEdge(x,y);
AddEdge(y,x);
}
LcaInit(,,);
int Q = r;
while(Q--){
x = r, y = r;
ans = ;
if(x != y){
LCA(x,y);
printf("%d\n",ans);
}
else{
printf("%d\n",n);
}
}
return ;
}

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