LOJ2721 [NOI2018] 屠龙勇士 【扩展中国剩余定理】

好久没写了，写一篇凑个数。

题目分析：

这题不难想，讲一下中国剩余定理怎么扩展。

考虑$$\left\{\begin{matrix}x \equiv a\pmod{b}\\ x \equiv c\pmod{d}\end{matrix}\right.$$

不难发现需要满足$gcd(b,d)|(c-a)$才有解。

结合后的模数一定是$lcm(b,d)$。然后扩展gcd合并就行了。

中间过程会超过$10^18$，需要快速乘。

代码:

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int maxn = ;

 int n,m;
 long long a[maxn],p[maxn],LP[maxn],d[maxn];

 multiset<long long,greater<long long> > s;

 long long cut[maxn],minn;
 long long st[maxn],f[maxn];

 void init(){
     s.clear();memset(st,,sizeof(st)); memset(f,,sizeof(f));
     for(int i=;i<=m;i++) s.insert(d[i]);
     for(int i=;i<=n;i++){
     set<long long>::iterator it = s.lower_bound(a[i]);
     if(it == s.end())it--;    cut[i] = (*it);
     s.erase(it); s.insert(LP[i]);
     }
     minn = ;
     for(int i=;i<=n;i++) minn = max(minn,(long long)ceil((double)a[i]/cut[i]));
 }

 long long exgcd(long long alpha,long long beta,long long &x,long long &y){
     if(beta == ){x = ; y = ; return alpha;}
     else{
     long long res = exgcd(beta,alpha%beta,y,x);
     y-=x*(alpha/beta);
     return res;
     }
 }

 void read(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",&p[i]);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lld",&LP[i]);
     for(int i=;i<=m;i++) scanf("%lld",&d[i]);
 }

 long long multi(long long alpha,long long beta,long long mod){
     long long dt,bit = ,ans = ;
     alpha %= mod; beta %= mod;
     alpha += mod; beta += mod;
     alpha %= mod; beta %= mod;
     dt = alpha;
     while(bit <= beta){
     if(bit & beta){ans += dt; if(ans >= mod) ans -= mod;}
     bit<<=;dt = (dt+dt); if(dt >= mod) dt -= mod;
     }
     return ans;
 }

 int cntt = ;
 void work(){
     for(int i=;i<=n;i++){
     long long hd = exgcd(cut[i],p[i],st[i],f[i]);
     if(a[i] % hd != ){puts("-1");return;}
     f[i] = p[i]/hd; st[i] %= f[i]; if(st[i] < ) st[i] += f[i];
     st[i] = multi(st[i],a[i]/hd,f[i]); st[i] %= f[i];
     }
     for(int i=;i<=n;i++){
     long long im = exgcd(f[i],f[i-],f[],f[]);
     if((st[i]-st[i-])%im){
         puts("-1");return;
     }
     long long um = f[i]/im*f[i-];
     long long tf=; exgcd(f[i-],f[i],tf,f[]);
     tf =multi(tf,(st[i]-st[i-])/im,um);
     tf += (-tf/f[i])*f[i]; tf += f[i];
     tf = (st[i-]+multi(tf,f[i-],um))%um;
     if(tf < ) tf += um;
     f[i] = um; st[i] = tf;
     }
     if(st[n] < minn){
     st[n] += (minn-st[n])/f[n]*f[n];
     }
     printf("%lld\n",st[n]);
     //fast multi
 }

 int main(){
     int Tmp; scanf("%d",&Tmp);
     while(Tmp--){
     cntt++;
     read();
     init();
     work();
     }
     return ;
 }