题解-bzoj1283序列 & bzoj4842 [Neerc2016]Delight for a Cat

因为这两题有递进关系，所以放一起写

Problem

题意概要：一个长度为 $n$ 的序列$\{c_i\}$，求一个子集，使得原序列中任意长度为 $m$ 的子串中被选出的元素不超过$K$个，并且选出的元素之和最大。

bzoj 4842 Please contact lydsy2012@163.com! （可以下数据自测然而还需要spj，upd：loj6079好像是一样的）

题意概要：构造一个长度为$n$的$12$序列$\{a_i\}$，$a_i=1$或$2$的贡献分别为$s_i,t_i$，对于任意长度为$k$的子串，至少要有$t_1$个$1$，至少要有$t_2$个$2$，问这$n$个小时的最大收益

Solution-bzoj1283

这题和网络流24题-最长$k$可重区间集问题很像，只不过这里运用了点线互换的套路。

限制对于每个区间选出的元素不能超过$k$个，等价于把元素视作一条长度为$k$的线段，每个点不能被覆盖超过$k$次

每个点被覆盖不超过$k$次就可以用网络流解决了，利用流量限制$k$

建立一个主轴（连边$i\rightarrow i+1$，流量$\inf$，费用$0$）用以传递流量
对每个点建出线段（连边$i\rightarrow i+k$，流量$1$，费用$c_i$）

这样如果想取得一个权值$c_i$，必须有$1$的流量从$i$开始走费用为$c_i$的那条边，而只要设置源点流量为$k$，则对于每个截面的流量不会超过$k$，化为实际意义即每个点被覆盖不超过$k$次，跑最大费用最大流即可

Solution-bzoj4842

简化题目

现将这题的 “二者选其一” 转化为上一题的 “选与不选”：先假定序列全部选$2$，再考虑对于每个位置换不换成$1$（$ans=\sum e_i$，令$n$个点权值为$a_i=s_i-e_i$，考虑每个点选与不选）

上一题是每个点被覆盖不超过$k$次

考虑这题变成了交换，设交换$x$次，则选择$x$个$1$，选择$k-x$个$2$，由于$t_1\leq x\\t_2\leq k-x$，即$t_1\leq x\leq k-t_2$

即每个点被覆盖不超过$k-t2$次，不少于$t_1$次，不多于$k-t_2$次，上下界网络流……

然而凑巧的是，前天我刚想到一个奇妙的下界网络流方法实际很简单，比如要一个一条边的流量大于等于某个数$t$，则只要往这条边的入度注满$s$的流，然后在入度处拉出一条流量上界为$s-t$的边，则原边流量刚好大于等于$t$（即利用限制分流保证原边流量下界）

所以这题就可以做了，类似于上一题，这里不能被覆盖超过$k-t_2$次，即源点流量为$k-t_2$，不少于$t_1$次，利用上面这个方法就是将主轴的流量上界设定为$k-t_2-t_1$，这样对于每个点都会至少有$(k-t_2)-(k-t_2-t_1)=t_1$次覆盖了

但是考虑若像上一题那样源点只连第一个位置，会使得前面$k$个点之间的主轴承受不住，所以需要源点需要往前$k$个点都连一条无限流量无费用的边

细化做法：

虚源点往源点连边（流量$k-t_2$，费用$0$）
源点往$i,i\in[1,k]$连边（流量$\inf$，费用$0$）
$i$往$i+1$连边（流量$k-t_1-t_2$，费用$0$）
$i$往$i+k$连边，若$i+k>n$则连向$t(t=n+1)$（流量$1$，费用$s_i-e_i$）

跑最大费用最大流即可

哦，对了，听说这两题还可以线性规划玩

Code

bzoj1283

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline int read(int&x){

	char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();

	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();return x;

}

const int N=4050,inf = 0x3f3f3f3f;

struct Edge{int v,w,c,nxt;}a[N];

int head[N],n,m,s,t,k,_;

inline void add(int u,int v,int w,int c){

	a[_].v=v,a[_].w=w,a[_].c=c,a[_].nxt=head[u],head[u]=_++;

	a[_].v=u,a[_].w=0,a[_].c=-c,a[_].nxt=head[v],head[v]=_++;

}

namespace max_cost{

	int q[N*10],he,ta;

	int dis[N],inq[N],vis[N],dfc=0;

	bool bfs(){

		for(int i=0;i<t;++i)dis[i]=-inf,inq[i]=0;

		dis[q[he=ta=1]=t]=0,inq[t]=1;

		int x;while(he<=ta){

			inq[x=q[he++]]=0;

			for(int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)

				if(a[i^1].w>0&&dis[a[i].v]<dis[x]-a[i].c){

					dis[a[i].v]=dis[x]-a[i].c;

					if(!inq[a[i].v])q[++ta]=a[i].v,inq[a[i].v]=1;

				}

		}return dis[s]!=-inf;

	}

	int dfs(int x,int flw){

		if(x==t||!flw)return flw;

		int res=0,tmp;vis[x]=dfc;

		for(int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)

			if(vis[a[i].v]!=dfc && a[i].w>0 && dis[a[i].v]==dis[x]-a[i].c)

			if(tmp=dfs(a[i].v,min(flw-res,a[i].w))){

				a[i].w-=tmp,a[i^1].w+=tmp,res+=tmp;

				if(res==flw)return res;

			}

		return res;

	}

	void main(){

		int flw,ans=0;

		while(bfs())

			for(vis[t]=dfc;vis[t]==dfc;){

				++dfc;flw=dfs(s,inf);

				ans+=flw*dis[s];

			}

		printf("%d\n",ans);

	}

}

int main(){

	read(n),read(m),read(k);s=0,t=n+1;

	for(int i=0;i<=t;++i)head[i]=-1;

	add(s,1,k,0);

	for(int i=1,x;i<=n;++i){

		add(i,i+1,inf,0);

		add(i,min(i+m,t),1,read(x));

	}

	max_cost::main();

	return 0;

}

bzoj4842

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){

	char c11=getchar(),ob=0;x=0;

	while(c11^'-'&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11=='-')ob=1,c11=getchar();

	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();if(ob)x=-x;return x;

}

const int N=1010,M=8010,flow_inf = 0x3f3f3f3f;

struct Edge{int v,w,c,nxt;}a[M];

int head[N],sv[N],ev[N],id[M],state[N];

int n,k,t1,t2;

int s,t,ss,_;

ll ans;

inline void add(int u,int v,int w,int c){

	a[_].v=v,a[_].w=w,a[_].c=+c,a[_].nxt=head[u],head[u]=_++;

	a[_].v=u,a[_].w=0,a[_].c=-c,a[_].nxt=head[v],head[v]=_++;

}

namespace max_cost{

	const ll dis_inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

	int q[N*170],inq[N],vis[N];

	int he,ta,dfc=0;

	ll dis[N];

	bool bfs(){

		for(int i=t;i;--i)inq[i]=0,dis[i]=-dis_inf;

		dis[q[he=ta=1]=t]=0,inq[t]=true;

		int x;

		while(he<=ta){

			inq[x=q[he++]]=false;

			for(int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)

				if(a[i^1].w>0 && dis[a[i].v]<dis[x]-a[i].c){

					dis[a[i].v]=dis[x]-a[i].c;

					if(!inq[a[i].v])inq[q[++ta]=a[i].v]=true;

				}

		}return dis[s]!=-dis_inf;

	}

	int dfs(int x,int flw){

		if(x==t||!flw)return flw;

		int res(0),tmp;vis[x]=dfc;

		for(int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)

			if(vis[a[i].v]!=dfc && a[i].w>0 && dis[a[i].v]==dis[x]-a[i].c)

			if(tmp=dfs(a[i].v,min(flw-res,a[i].w))){

				a[i].w-=tmp,a[i^1].w+=tmp,res+=tmp;

				if(res==flw)return res;

			}

		return res;

	}

	void main(){

		int flw;

		while(bfs())

			for(vis[t]=dfc;vis[t]==dfc;){

				++dfc;flw=dfs(s,flow_inf);

				ans+=flw*dis[s];

			}

		printf("%lld\n",ans);

	}

}

int main(){

	scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&t1,&t2);

	s=n+1,ss=n+2,t=n+3;

	for(int i=t;i;--i)head[i]=-1;

	add(s,ss,k-t2,0);

	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",sv+i);

	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",ev+i),ans+=ev[i];

	for(int i=1;i<=k;++i)add(ss,i,flow_inf,0);

	for(int i=1;i<=n;++i){

		add(i,i+1>n?t:i+1,k-t1-t2,0);

		add(i,i+k>n?t:i+k,1,sv[i]-ev[i]);

		id[_-1]=i;

	}

	max_cost::main();

	for(int i=0;i<_;++i)

		if(id[i])

			state[id[i]]=(a[i].w>0);

	for(int i=1;i<=n;++i)putchar(state[i]?'S':'E');

	putchar('\n');return 0;

}