[ZJOI2005]九数码游戏(BFS+hash)

Solution

这题的话直接上BFS就可以了，因为要输出方案，所以我们要开一个pre数组记录前驱，最后输出就可以了。

对于状态的记录，一般都用哈希来存，但因为这道题比较特殊，它是一个排列，所以我们可以利用康拓展开把空间压到9！。

康拓展开

一个排列的康拓展开表示的是字典序比他小的排列的个数，所以我们统计一下每一位后面有几个比它小的数字，乘上(n-i)!

inline int zx_hash(int x){
    for(int i=;i>=;--i)a[i]=x%,x/=;
    int num=;
    for(int i=;i<=;++i){
        int aa=;
        for(int j=i+;j<=;++j)if(a[i]>a[j])aa++;
        num+=aa*jie[-i];
    }
    return num;
}

逆康拓展开

我们不但要支持把排列映射成数字，还要支持把数字映射成排列。

具体操作就是从高到低按位考虑，令x=num/(n-i)!，那么可选集合中有x个数是比这一位上的数字小的，所以我们选择第x+1个数。

inline int anti_hash(int x){
   int num=;
   for(int i=;i<=;++i)vec[i]=i;int zo=;
   for(int i=;i>=;--i){
         int y=x/jie[i];
         x=x%jie[i];
         num=num*+vec[y];
         for(int j=y;j<zo;++j)vec[j]=vec[j+];zo--;
   }
 return num;
}

不过康拓展开的复杂度是n^2的，但常数较小，遇到哈希排列之类的问题试一下。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define mm make_pair
#define N 12
using namespace std;
const int r1[]={,,,,,,,,,};
const int r2[]={,,,,,,,,,};
int jie[N],a[N],d1[N],d2[N],x,win,ans[],ji[],tag,tot,vec[];
struct node{
    int first,second;
};
queue<node>q;
inline int zx_hash(int x){
    for(int i=;i>=;--i)a[i]=x%,x/=;
    int num=;
    for(int i=;i<=;++i){
        int aa=;
        for(int j=i+;j<=;++j)if(a[i]>a[j])aa++;
        num+=aa*jie[-i];
    }
    return num;
}
inline int anti_hash(int x){
   int num=;
   for(int i=;i<=;++i)vec[i]=i;int zo=;
   for(int i=;i>=;--i){
         int y=x/jie[i];
         x=x%jie[i];
         num=num*+vec[y];
         for(int j=y;j<zo;++j)vec[j]=vec[j+];zo--;
   }
 return num;
}
int main(){
    for(int i=;i<=;++i)scanf("%d",&a[i]),x=x*+a[i];jie[]=;int mem=x;
    for(int i=;i<=;++i)jie[i]=jie[i-]*i;
    win=zx_hash();
    q.push(node{zx_hash(x),});
    while(!q.empty()){
        int u=q.front().first,nn=q.front().second;q.pop();
        if(u==win){
            printf("%d\n",nn);
            tag=;
            break;
        }
        x=anti_hash(u);
        for(int i=;i>=;--i)d1[r1[i]]=x%,d2[r2[i]]=x%,x/=;
        int x1=,x2=;
        for(int i=;i<=;++i)x1=x1*+d1[i],x2=x2*+d2[i];
        x1=zx_hash(x1);x2=zx_hash(x2);
        if(!ji[x1])ji[x1]=u,q.push(node{x1,nn+});
        if(!ji[x2])ji[x2]=u,q.push(node{x2,nn+});
    }
    if(!tag){
        printf("UNSOLVABLE");
        return ;
    }
    x=mem;x=zx_hash(x);
    while(win!=x){
        ans[++tot]=win;win=ji[win];
    }
    ans[++tot]=x;
    for(int i=tot;i>=;--i){
        int qq=anti_hash(ans[i]);
        for(int j=;j>=;--j)a[j]=qq%,qq/=;
        printf("%d %d %d\n%d %d %d\n%d %d %d\n\n",a[],a[],a[],a[],a[],a[],a[],a[],a[]);
    }
    return ;
}