斯坦福第三课:线性代数回顾(Linear Algebra Review)
3.1 矩阵和向量
3.2 加法和标量乘法
3.3 矩阵向量乘法
3.4 矩阵乘法
3.5 矩阵乘法的性质
3.6 逆、转置
3.1 矩阵和向量
如图:这个是 4×2 矩阵,即 4 行 2 列,如 m 为行,n 为列,那么 m×n 即 4×2
矩阵的维数即行数×列数 矩阵元素(矩阵项):
Aij 指第 i 行,第 j 列的元素。 向量是一种特殊的矩阵,讲义中的向量一般都是列向量,如
如下图为 1 索引向量和 0 索引向量,左图为 1 索引向量,右图为 0 索引向量,一般我们用 1 索引向量。
3.2 加法和标量乘法
矩阵的加法:行列数相等的可以加。
矩阵的乘法:每个元素都要乘
组合算法也类似。
3.3 矩阵向量乘法
矩阵和向量的乘法如图:m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量,得到的是 m×1 的向量
算法举例:
3.4 矩阵乘法
矩阵乘法:
m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵,变成 m×o 矩阵。 如果这样说不好理解的话就举一个例子来说明一下,比如说现在有两个矩阵 A 和 B,那
么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。
3.5 矩阵乘法的性质
矩阵乘法的性质: 矩阵的乘法不满足交换律:A×B≠B×A
矩阵的乘法满足结合律。即:A×(B×C)=(A×B)×C
单位矩阵:在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的 1,我们称 这种矩阵为单位矩阵.
它是个方阵,一般用 I 或者 E 表示,本讲义都用 I 代表单位矩阵,从 左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为 1, 以外全都为 0。如:
3.6 逆、转置
矩阵的逆:如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵(方阵),如果有逆矩阵,则:
我们一般在 OCTAVE 或者 MATLAB 中进行计算矩阵的逆矩阵。
矩阵的转置:设 A 为 m×n 阶矩阵(即 m 行 n 列),第 i 行 j 列的元素是 a(i,j),即: A=a(i,j)
定义 A 的转置为这样一个 n×m 阶矩阵 B,满足 B=a(j,i),即 b (i,j)=a (j,i)(B 的第 i 行第j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素),
记 AT=B。(有些书记为 A'=B)直观来看,将 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作 镜面反转,即得到 A 的转置。
例: 矩阵的转置基本性质:
matlab 中矩阵转置:直接打一撇,x=y'。
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