速算1/Sqrt(x)背后的数学原理
概述
平方根倒数速算法,是用于快速计算1/Sqrt(x)的值的一种算法,在这里x需取符合IEEE 754标准格式的32位正浮点数。让我们先来看这段代码:
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed #ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
2010年,John Carmack公开了Quake III Arena的源代码,这段代码便出自其中,这种算法在游戏《雷神之锤III竞技场》(Quake III Arena)被广泛应用,作为《雷神之锤》3D游戏引擎的作者,该算法理所应当的被认为该是Carmark所创,但是后来Carmack在对Beyond3D上关于该段代码的作者的讨论回信表示这段代码并不是出自他之手,也许是其开发小组的另一位成员所写,而至今该算法的最终起源仍然是个谜。
魔数0x5f3759df
此算法最为牛叉之处在于注释了what the fuck?的那一行代码,此处将浮点数作为整数右移一位,通过一个神秘的十六进制数0x5f3759df进行减法运算,便完成了牛顿迭代需要的第一次猜测值,而这次猜测值已经很接近满足精度的结果了,因此只通过了一次牛顿迭代就完成了所需精度的结果,其实就相当于直接进行计算就得到了所需结果。
32位浮点数在计算机中的存储方式
如果要理解该段代码除了魔数一行的代码,就必须理解浮点数在计算机中的存储方式。任何数据在计算机内存中都是以二进制形式存在的,浮点数也不例外, 32位的浮点数在计算机中的存储方式如下图,分为三个部分:
- 标志位(Sign),第31位为标志位,1代表负数,0代表正数;
- 指数部分(Exponent),指数部分共占8位,而 float类型规定其偏移量为127,由于指数可正可负,对于8位二进制数其表示范围为[-128, 127];
- 尾数部分(Mantissa),表示有效数字位,由于尾数部分的整数部分恒为1,该位将不被存储,因此原本23位的尾数部分可以表示的精度就变成了24位;
因此在二进制科学计数法中,我们可以将任意的32位浮点数表示为:
而平方根倒数速算法中的第9行的目的就是将浮点数转化为32位整型数的表现形式。
牛顿迭代法
牛顿迭代法又称为牛顿-拉菲森法(Newton-Raphson method),这种算法的原理就是一个求近似解的方法,该算法正是采用该方法来迭代平方根倒数的。
要求F(x)=0的解,首先选取一个接近函数F(x)零点的点(x0, F(x0)),过该点做切线求得其与X轴交点的x的值记为x1,该值通常会比x0更接近方程的解,然后不断使用新的点进行迭代至满足的精度为止。
在(x0, F(x0))点的斜率为,过该点的切线方程为,因此求得该切线与x轴的交点横坐标值,因此简化后的迭代公式为:
以求该平方根倒数求值为例,通过该方法转化为求方程的解,申明,根据牛顿法,第一次迭代结果为:
而这也正好是算法中的第12行代码对该算法的应用。
Lomont的逆向数学推理
对于该算法最让人难以理解的就是魔数0x5f3759df,对于这个问题,Purdue大学的数学家Chris Lomont在论坛上得知后觉得非常有趣,于是决定研究一下它的工作原理。
Lomont在假设该算法成立的前提下(事实上已被广泛证实该算法的正确性),希望通过数学推理推导出该值。下面简要介绍一下Lomont的推导过程:
由于是求平方根倒数,因此假设所有浮点数的标志位均为0,浮点数二进制科学计数公式简化为:
我们假设所求的魔数为R,那么第一次猜测值就可以表示为,其中i表示浮点数x的整数形式,R为整型,如下图:
在对i进行按位右移的过程中,因为i的二进制指数位可能会被右移到尾数部分,所以必须按两种情况分类讨论:
1. 当i的指数部分为偶数,那么指数部分的最低位为0,指数位将不会被右移到尾数部分中,而真正的指数e = E - 127就是奇数,令e = 2d + 1,那么在经过运算后,y0的指数部分的值为:
由于我们所求的平方根倒数大于0,所以新的指数部分也必须大于0,且E的取值在[0, 254]之间,所以R1 ≥ 128;因为E是偶数,所以指数位并没有移动到尾数中,所以运算之后尾数y0的尾数部分为:,
如果,那么初始猜测值为:
如果,二进制减法正如十进制中的减法运算,需向指数部分借位,此时,
定义
那么
因为e = 2d + 1,那么我们要求解的平方根倒数的近似值为:
所以y和y0的相对误差则为:
那么根据要求相对误差需小于0.125,则可以推导出R2的取值范围(189.2, 190.7),所以R2=190=0xbe;
2. 当i的指数部分为奇数时,同理推导出:
如果我们希望以上两种情况的相对误差均小于0.125, R1确定且与E的奇偶无关,那么R1=190=0xbe,此时重新定义以上两个误差函数:
最终通过当M=0,1,以及R2=M/2的几个临界点获取相对误差最大值函数,然后在所有函数中获取使得这些误差函数值都最小的R2的值,这个值便是我们要找的结果,分类讨论一共得到了9个关于R2(取值范围是[0, 1))的函数:
最终这个求值过程交给Mathematica来完成,也不知为何我最后求得的结果和Lomont略有差异:
r0 = 0.432744889959443195468521587014
我求出的结果:
r0 = 0.432744834277619894180588744347
其他讨论
Lomont求解魔数0x5f3759df的推导过程的前提是假设算法中
i = 0x5f3759df - ( i >> );
这行代码成立,通过反推来求解魔数的,但是这行代码最初是如何得出的,依据是什么,Lomont并没有给出更多的解释或猜测,好在其他的论坛也有相关的讨论。
在一则slashdot.org关于Origin of Quake3's Fast InvSqrt()的讨论中,kent.dickey的回复令人印象深刻,而我个人也非常赞同他的思路,非常简单的推导,也许他的这种思路才是该算法的最初雏形。
他在回复中说:对于浮点数平方根倒数的求解,指数部分的初始猜测值就是对指数部分减求反(暂时忽略尾数部分,因为对于2以内的求解,一步就可以得到结果),比如求16的平方根倒数:
但是由于在内存中浮点数特殊的存储方式,因此在内存中指数的整型值为:
NewExpIntValueInMemory=(ActualExp+127) << 23
我们想要的指数结果是:
NewActualExp=-ActualExp/2
由于在内存中:Exp=ActualExp+127,那么ActualExp=Exp-127,所以:
NewExp-127=-(Exp-127)/2
那么:
NewExp=127-(Exp-127)/2=(127×3)/2-Exp/2
那 么指数在内存中指数的整型值为:
所以在完全忽略尾数部分的前提下,初始猜测近似值为:
i=0x5F400000-i≫1
随后kent.dickey试图使用类似方法找到对于尾数部分的类似特定模式,遗憾的是没能找到,也许作者当初在有了这个思路(如果该思路真的就是原算法的雏形)之后,也采用了类似Lomont的暴力求解来获得更精确的初始猜测。
参考文献
- 一个Sqrt函数引发的血案http://www.cnblogs.com/pkuoliver/archive/2010/10/06/1844725.html
- 平方根倒数速算法http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%80%92%E6%95%B0%E9%80%9F%E7%AE%97%E6%B3%95
- FAST INVERSE SQUARE ROOT http://www.lomont.org/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
- Quake 3 1.32 Source Code http://www.shacknews.com/file/7443/quake-3-132-source-code
- Origin of Quake3's Fast InvSqrt() http://www.beyond3d.com/content/articles/8/
- Origin of Quake3's Fast InvSqrt() http://games.slashdot.org/story/06/12/01/184205/origin-of-quake3s-fast-invsqrt
- 浮点数在计算机中存储方式http://www.cnblogs.com/jillzhang/archive/2007/06/24/793901.html
- 浮点数的表示与类型转换http://www.cnblogs.com/yaozhongxiao/archive/2009/09/24/1573203.html
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