地图投影——高斯-克吕格投影、墨卡托投影和UTM投影

地图投影（Map Projection）

http://baike.baidu.com/view/94066.htm

概念：

地图投影是把地球表面的任意点，利用一定数学法则，转换到地图平面上的理论和方法。

由于地球是一个赤道略宽两极略扁的不规则的梨形球体，故其表面是一个不可展平的曲面，所以运用任何数学方法进行这种转换都会产生误差和变形，为按照不同的需求缩小误差，就产生了各种投影方法。

方法：

1、几何透视法：几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面上的一种投影方法。如假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球体，在其球心或球面、球外安置一个光源，将球面上的经纬线投影到球外的一个投影平面上，即将球面经纬线转换成了平面上的经纬线。

2、数学解析法：数学解析法是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。

几何透视法是一种比较原始的投影方法，有很大的局限性，难于纠正投影变形，精度较低，当前绝大多数地图投影都采用数学解析法。大多数的数学解析法往往是在透视投影的基础上，发展建立球面与投影面之间点与点的函数关系的，因此两种投影方法有一定联系。

分类：

1、按变形性质：等角投影、等积投影和任意投影。

2、按正轴投影时经纬网的形状：（1）几何投影：方位投影、圆柱投影和圆锥投影；（2）条件投影：伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影。

3、按投影轴与地轴关系：正轴投影（重合）、斜轴投影（斜交）、横轴投影（垂直）。

4、按投影面与地球表面关系：切投影、割投影。

高斯-克吕格投影（Gauss - Kruger projection）——等角横轴切椭圆柱投影

http://baike.baidu.com/view/311590.htm

由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19世纪20年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。

高斯-克吕格投影即等角横切椭圆柱投影。假想用一个椭圆柱横切于地球椭球体的某一经线上，这条与圆柱面相切的经线，称中央经线。以中央经线为投影的对称轴，将东西各3°或1°30′的两条子午线所夹经差6°或3°的带状地区按数学法则、投影法则投影到圆柱面上，再展开成平面，即高斯-克吕格投影，简称高斯投影。这个狭长的带状的经纬线网叫做高斯-克吕格投影带。

高斯-克吕格投影特点：

1、中央子午线是直线，其长度不变形；其他子午线是凹向中央子午线的弧线，并以中央子午线为对称轴；

2、赤道线是直线，但有长度变形；其他纬线为凸向赤道的弧线，并以赤道为对称轴；

3、经线和纬线投影后仍然保持正交；

4、离开中央子午线越远，变形越大。

若采用分带投影的方法，可使投影边缘的变形不致过大。我国各种大、中比例尺地形图采用了不同的高斯-克吕格投影带。其中大于1:1万的地形图采用3°带；1:2.5万至1:50万的地形图采用6°带。

高斯投影

分带投影

高斯平面直角坐标系

墨卡托投影（Mercator Projection）——等角正轴切圆柱投影

http://baike.baidu.com/view/301981.htm

由荷兰地图学家墨卡托（G. Mercator）于1569年创拟，为地图投影方法中影响最大的，又称正轴等角圆柱投影。

假设地球被围在一中空的圆柱里，其基准纬线与圆柱相切（赤道）接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定基准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。

墨卡托投影特点：

1、没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等；

2、经纬线都是平行直线，且相交成直角；经线间隔相等，纬线间隔从基准纬线处向两极逐渐增大。

3、长度和面积变形明显，但基准纬线处无变形，变形从基准纬线处向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。

在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。

百度地图和Google Maps使用的投影方法都是墨卡托投影。

The Mercator map projection

The transverse Mercator map projection.

UTM投影（Universal Transverse Mercatol Projection，通用横轴墨卡托投影）——等角横轴割椭圆柱投影

http://baike.baidu.com/view/1428751.htm

http://therucksack.tripod.com/MiBSAR/LandNav/UTM/UTM.htm

UTM是一种“等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比0.9996。UTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。

与高斯-克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，中央经线的比例因子取0.9996是为了保证离中央经线左右约330km处有两条不失真的标准经线。

这种坐标格网系统及其所依据的投影已经广泛用于地形图，作为卫星影像和自然资源数据库的参考格网以及要求精确定位的其他应用。

The map above represents a Transverse Mercator projection of the world with a standard meridian at 0° longitude. （Note that because of the very small size of the map, the graticule is shown at 30° resolution.） The globe wrapped in a cylinder is a conceptual model of how the Transverse Mercator projection formula transfers positions on the globe to positions on a plane（The cylinder can be flattened to a plane surface after it is unwrapped from the globe.） The thicker red line on the cylinder and the map is the standard line along which scale distortion is zero. As the distortion ellipses on the map indicate, distortion increases with distance from the standard line.

Global coverage of the Universal Transverse Mercator （UTM）

and Universal Polar Stereographic （UPS） coordinate systems.

UTM系统中，北纬84度和南纬80度之间的地球表面积按经度6度划分为南北纵带（投影带），从180度经线开始向东将这些投影带编号，从1编至60（北京处于第50带）。每个带再划分为纬差8度的四边形，四边形的横行从南纬80度开始，用字母C至X（不含I和O）依次标记（第X行包括北半球从北纬72度至84度全部陆地面积，共12度）。每个四边形用数字和字母组合标记，参考格网向右向上读取，每一四边形划分为很多边长为1000000米的小区，用字母组合系统标记。在每个投影带中，位于带中心的经线，赋予横坐标值为500000米。对于北半球赤道的标记坐标值为0，对于南半球为10000000米，往南递减。

The 20 grid rows labeled C through H, J through N, and P through X of the Universal Transverse Mercator （UTM） coordinate system—depicted by the lettered, horizontal rows in the above image—cover the entire world, save the northern and southern polar regions, which are covered by the Universal Polar Stereographic （UPS） coordinate system.

The component parts of a UTM grid coordinate data string.

Zone 16 in the Universal Transverse Mercator （UTM） coordinate system.

高斯-克吕格投影与UTM投影

http://tian0226.blog.sohu.com/142843049.html

http://www.cnblogs.com/yaweno/archive/2010/07/23/1783873.html

http://eternalsep.blog.hexun.com/52122534_d.html

高斯-克吕格投影与UTM投影都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。

从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切椭圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。

从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1，UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用X[UTM]=0.9996*X[高斯]，Y[UTM]=0.9996*Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000）。

	输入坐标 （度）	高斯投影 （米）	UTM投影 （米）	Xutm=0.9996*X高斯 Yutm=0.9996*Y高斯
纬度值（X）	32	3543600.9	3542183.5	3543600.9*0.9996≈3542183.5
经度值（Y）	121	21310996.8	311072.4	（310996.8-500000）*0.9996+500000≈311072.4

从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。

此外，两投影的东伪偏移（False Easting）都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移（False_Northing）为零，UTM北半球投影北伪偏移（False Northing）为零，南半球则为10000公里。