bzoj 1778 [Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡（高斯消元）

【题意】

炸弹从1开始运动，每次有P/Q的概率爆炸，否则等概率沿边移动，问在每个城市爆炸的概率。

【思路】

设M表示移动一次后i->j的概率。Mk为移动k次后的概率，则有：

Mk=M^k

设S={ 1,0,0,0,… }

设pi为移动i步后到对应点爆炸的概率矩阵，则有：

　　p0=P/Q * S

　　p1=P/Q * S * M1

　　 …

　　p+oo=P/Q * S * Mn

则答案为：sigma{ pi },0<=i<+oo

即：

Ans=P/Q * S * sigma{ M^i } ,0<=i<+oo

根据等差数列的求和公式：

Ans= P/Q * S * (I-M^(+oo))/(I-M)

= P/Q * S * I/(I-M)

　　  =>  Ans(I-M) = P/Q * S

其中I为单位矩阵，I[j][j]=1，其余为0。

于是可以得到n个线性方程，可以使用高斯消元法求解。

　 注意Ans*(I-M)，所以第i个方程的第j项系数为-(1-P/Q)*Mji。

【代码】

 #include<set>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = ;
 const int M = 1e5+;

 ll read() {
     char c=getchar();
     ll f=,x=;
     while(!isdigit(c)) {
         if(c=='-') f=-; c=getchar();
     }
     while(isdigit(c))
         x=x*+c-'',c=getchar();
     return x*f;
 }

 struct Edge {
     int v,nxt;
 }e[M];
 int en=,front[N];
 void adde(int u,int v)
 {
     e[++en]=(Edge){v,front[u]}; front[u]=en;
 }

 int n,m,du[N];
 double P,a[N][N];

 void gause()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int r=i;
         for(int j=i+;j<=n;j++)
             if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=i;
         for(int j=;j<=n+;j++) swap(a[i][j],a[r][j]);
         for(int j=n+;j>=i;j--)
             for(int k=i+;k<=n;k++)
                 a[k][j]-=a[k][i]/a[i][i]*a[i][j];
     }
     for(int i=n;i;i--)
     {
         for(int j=i+;j<=n;j++)
             a[i][n+]-=a[i][j]*a[j][n+];
         a[i][n+]/=a[i][i];
     }
 }

 int main()
 {
     int x,y;
     n=read(),m=read(),x=read(),y=read();
     P=(double)x/y;
     FOR(i,,m) {
         x=read(),y=read();
         adde(x,y),adde(y,x);
         du[x]++,du[y]++;
     }
     FOR(u,,n) {
         a[u][u]=;
         trav(u,i) {
             int v=e[i].v;
             a[u][v]-=(1.0-P)/du[v];
         }
     }
     a[][n+]=P;
     gause();
     FOR(i,,n)
         printf("%.9lf\n",a[i][n+]);
     return ;
 }