项链 [FFT]
题面
思路
这题很像bzoj4827礼物
还是一样的思路,我们把$y$倍长,$y[i+k]=y[i]+n$
然后令$f(s,c)$表示从$y$的第$s$个开始匹配,位置偏移量为$c$的答案
可以得到$f(s,c)=\sum_{i=0}{n-1}(x_i-y_{i+s}+c)2=\sum_{i=0}{n-1}(x_i2+y_{i+s}+c^2+2x_ic-2y_{i+s}x-2x_iy_{i+s})$
我们可以把右边这个式子视为关于$c$的二次函数
用$FFT$可以快速得到不同的$s$下,$2x_iy_{i+s}$这一项的值,又因为其他系数都是确定的,所以我们可以用$O(k\log k)$确定不同的s对应的c的函数
然后可以算出来这个函数的最佳取值,再从所有最佳取值中选出最优解即可
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
int re=0,flag=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-') flag=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch)) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
return re*flag;
}
namespace FFT{
struct complex{
double x,y;
complex(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;}
inline complex operator +(complex &b){return complex(x+b.x,y+b.y);}
inline complex operator -(complex &b){return complex(x-b.x,y-b.y);}
inline complex operator *(complex &b){return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}
}A[100010],B[100010];
int cnt,lim,r[100010];
const double pi=acos(-1.0);
void fft(complex *a,double type){
int i,j,k,mid;complex x,y,w,wn;
for(i=0;i<lim;i++) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for(mid=1;mid<lim;mid<<=1){
wn=complex(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));
for(j=0;j<lim;j+=(mid<<1)){
w=complex(1,0);
for(k=0;k<mid;k++,w=w*wn){
x=a[j+k];y=a[j+k+mid]*w;
a[j+k]=x+y;
a[j+k+mid]=x-y;
}
}
}
if(type==-1) for(i=0;i<lim;i++) a[i].x=(ll)(a[i].x/lim+0.5);
}
void init(int len){
memset(A,0,sizeof(A));memset(B,0,sizeof(B));
cnt=0;lim=1;
while(lim<=len) lim<<=1,cnt++;
for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=((r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
}
}
void mul(){
using namespace FFT;
fft(A,1);
fft(B,1);
for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]*B[i];
fft(A,-1);
}
double sqr(double x){
return x*x;
}
ll n,k,x[20010],y[20010],pre1[20010],pre2[20010];
int main(){
int T=read();
while(T--){
n=read();k=read();
ll t1=0,t2=0,i,j,ans=1e15,tl,tm;
for(i=0;i<k;i++){
x[i]=read();
t1+=(x[i]*x[i]);
t2+=2*x[i];
}
for(i=0;i<k;i++){
y[i]=read();
y[i+k]=y[i]+n;
}
pre1[0]=y[0]*y[0];
pre2[0]=y[0];
for(i=1;i<(k<<1);i++){
pre1[i]=pre1[i-1]+y[i]*y[i];
pre2[i]=pre2[i-1]+y[i];
}
FFT::init(k*3);
for(i=0;i<k;i++) FFT::A[i].x=x[k-1-i];
for(i=0;i<(k<<1);i++) FFT::B[i].x=y[i];
mul();
for(i=k-1;i<(k<<1)-1;i++){
j=i-k+1;
tl=t1+pre1[j+k-1]-pre1[j-1];
tm=t2-2*(pre2[j+k-1]-pre2[j-1]);//这里处理的是y的前缀和,以及y的平方的前缀和
ll tmpc=(ll)(-(double)tm/(2.0*(double)k));
ans=min(ans,(ll)(k*sqr(tmpc)+tmpc*tm+tl-2*FFT::A[i].x));//这里需要上下都摸♂索一下
tmpc--;
ans=min(ans,(ll)(k*sqr(tmpc)+tmpc*tm+tl-2*FFT::A[i].x));
tmpc+=2;
ans=min(ans,(ll)(k*sqr(tmpc)+tmpc*tm+tl-2*FFT::A[i].x));
}
printf("%lld\n",ans);
}
}
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