JZOJ 5791. 【NOIP2008模拟】阶乘

5791. 【NOIP2008模拟】阶乘 
(File IO): input:factorial.in output:factorial.out

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Description

有n个正整数a[i]，设它们乘积为p，你可以给p乘上一个正整数q，使p*q刚好为正整数m的阶乘，求m的最小值。

 

Input

共两行。
第一行一个正整数n。
第二行n个正整数a[i]。

Output

共一行
一个正整数m。

 

Sample Input

1
6

Sample Output

3

样例解释：
当p=6，q=1时，p*q=3！
 

 

Data Constraint

对于10%的数据，n<=10
对于30%的数据，n<=1000
对于100%的数据，n<=100000，a[i]<=100000
 

 

做法：

题目要求一个最小的m使m！包含p这个因子。

可以把p分解质因数，假设p=∏ai^bi（ai为质数），那么只要m！包含了每个ai^bi，m！就包含p。

所以对于每个ai^bi，分别求出满足条件的最小的m，取最大值即可。

怎么求m？

先看一个简单的问题：

27！里面有多少个3相乘？

27！=1*2*...*27

包含1个3的数有27/(3^1)=9个

包含2个3的数有27/(3^2)=3个

包含3个3的数有27/(3^3)=1个

总共：9+3+1=13个

所以27！里面有13个3相乘。

用这个方法就可以求得m！有多少个ai相乘，二分判断即可。

代码如下：

 #include <cstdio>
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #define LL long long
 #define N 600007
 using namespace std;
 LL n, zs[N], T, a[N];
 LL tot = , ans;
 bool b[N]; 

 void Pre_work()
 {
     for (int i = ; i <= N / ; i++)
     {
         if (!b[i])
         {
             zs[++zs[]] = i;
             for (int j = ; j <= zs[]; j++)
                 if (i * zs[j] > N / )    break;
                 else    b[zs[j] * i] = ;
         }
         else
         {
             for (int j = ; j <= zs[]; j++)
                 if (i * zs[j] > N / )    break;
                 else    b[zs[j] * i] = ;
         }
     }
 }

 LL max(LL a, LL b)
 {
     return a > b ? a : b;
 }

 void Cl(LL x)
 {
     for (int i = , p = x; p > ; i++)
         for (; p % zs[i] == ; p /= zs[i])
         {
             if (!b[p])
             {
                 a[p]++;
                 T = max(T, p);
                 p = ;
                 break;
             }
             a[zs[i]]++, T = max(T, zs[i]);
         }
 }

 bool Check(LL ain)
 {
     for (int i = ; i <= T; i++)
     {
         int j = zs[i];
         LL Jl = ;
         for (LL k = j; (k <= ain) && (Jl < a[zs[i]]); k *= j) Jl += ain / k;
         if (Jl < a[zs[i]])    return ;
     }
     return ;
 }

 void Find()
 {
     LL l = , r = ;
     while (l < r)
     {
         LL mid = (l + r) / ;
         if (Check(mid))    r = mid;
         else l = mid + ;
     }
     printf("%lld", l);
 }

 int main()
 {
     freopen("factorial.in", "r", stdin);
     freopen("factorial.out", "w", stdout);
     scanf("%lld", &n);
     LL x;
     Pre_work();
     for (int i = ; i <= n; i++)
     {
         scanf("%lld", &x);
         if (!b[x])
         {
             a[x]++, T = max(T, x);
             continue;
         }
         Cl(x);
     }
     Find();
 }