学习：数学----gcd及扩展gcd

gcd及扩展gcd可以用来求两个数的最大公因数，扩展gcd甚至可以用来求一次不定方程ax+by=c的解

 

辗转相除法与gcd

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假设有两个数a与b，现在要求a与b的最大公因数，我们可以设

　　a=b*q+p

　　如果a是与b的最大公约数是gcd(a,b)，那么b与p的最大公约数也是gcd(a,b)

即

　　gcd(a,b)=gcd(b,p)=gcd(b,a%b)，然后我们令a=b，b=a%b，然后再进行以上步骤

　　以此类推，a与b的值会越来越小，直到某一时刻a变成了b的倍数，使得a%b=0，但是后来赋值使得a=b，b=a%b，所以等到b=0的时候，a的值就是原来a与b的最大公约数了。

证明在循环过程中一定存在某一时刻，使得a为b的倍数：

　　由于当a为正数（负数）时，a%b的值一定是正数（负数），也就是说，当b的值不断减小，最多也就减小到1（-1），而此时a一定是b的倍数。当然，不一定只有当b减小到1（-1）时，才会出现a%b=0，只要当b等于原来a和b最大公约数的时候，就一定会发生a%b=0

 long long getGcd(long long _a,long long _b){
     )    return _a;
     else    return getGcd(_b,_a%_b);
 }

gcd

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裴蜀定理

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　　ax + by = m

　　有解当且仅当m是gcd(a,b)的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

重要推论：

　　a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

特别的：

　　方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

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扩展gcd

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前言

　　扩展gcd是在普通的gcd上做了一些升级，扩展gcd不仅可以求出a和b最大公约数，还可以求出ax+by=gcd(a,b)的一组解，进而可以求出ax+by=gcd(a,b)以及ax+by=c的解集

求ax+by=gcd(a,b)的一组解（扩展gcd）

通过gcd可以知道

　　gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

又因为

　　ax+by=gcd(a,b)

由普通gcd，可以通过a=b，b=a%b代换得

　　bx+a%b*y=gcd(b,a%b)

因此

　　ax+by=bx+a%b*y=bx+(a-[a/b]*b)*y=bx+ay-[a/b]*b*y=ay+(x-[a/b]*b*y)

可以得到x与y的更新式

　　x'=y，y'=x-[a/b]*b

注意一点，如果当b=0时，那么ax+by=gcd(a,b)=a，此时xy的更新式为

　　x'=1，y'=0；

 

求ax+by=c的一组解

　　通过扩展gcd，可以得到ax'+by'=gcd(a,b)的解x'与y',如果ax+by=c存在整数解，根据裴蜀定理可知一定满足条件c是gcd(a,b)的倍数

因此，将等式左右两边乘c/gcd(a,b),得到:

　　ax'*c/gcd(a,b)+by'*gcd(a,b)=ax+by=c

于是，得到了ax+by=c的解为：x=x'*c/gcd(a,b),y=y'*c/gcd(a,b)，其中x'和y'是通过扩展gcd求出的一组解

ax+by=c及ax+by=gcd(a,b)的解集表示

　　假设我们得出ax+by=c一组解x与y，如果x每减去一个t（t为常数），那么y至少必须加上一个（a'*t/b'（其中a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)）），才能使等式两边成立,即

　　a(x-t)+b(y+a'*t/b')=ax+by=c

　　由于我们需要变换后的x和y仍然是整数，由于t已经是整数，即x-t也一定是整数，现在只需考虑a'*t/b'是否为整数，由于gcd(a',b')=1，即a'一定不是b'的倍数，故必须令t=t*b'(即t必须是b'的倍数)，才使得a'*t/b'为整数，即解集为：

　　x=x-t*b/gcd(a,b)，y=y+t*a/gcd(a,b)，t为任意整数

特别的，当gcd(a,b)=1，解集为：x=x-t*b，y=y+t*a

求ax+by=c的非负整数解（important）

　　非负整数解：x与y都为非负数，且x与y都与0比较接近的解

ps：令gcd(a,b)=gcd，以下计算之前应该先把a=a/gcd，b=b/gcd，因为解集中x是加减b/gcd，同理y，这样可以防止得到的解不是最小解。

考虑三种情况：

　　(1).当a,b>0，c>0

　　这种情况可能存在x与y都为非负整数的解，且当x为x解集中最小的非负整数时，如果此时对应的y为非负整数，那么就存在一组最小非负整数解；如果此时y为负数，那么就一定不存在最小非负整数解。

此时

　　x=(x%b+b)%b，y=(c-a*gcd*x)/(b*gcd)

但是此时x的确的相对于y来说更接近0，但是y可能并不是很接近0，比如解50x+y=100，用这种方法解出来的解为x=0,y=100，相对于x=2,y=0来讲并不是最优解，此时让y更接近0才获得更好的答案，因此可以优化解，此时：

　　当a>=b时，y=(y%a+a)%a，x=(c-b*gcd*y)/(a*gcd);

　　当a<b时，x=(x%b+b)%b，y=(c-a*gcd*x)/(gcd*b);

这样以来，就可以通过a与b的大小，来判断哪个未知数接近0可以获得更完美的解

　　(2).当a,b>0，c<0

　　这种情况一定不会出现最小非负整数解，但是为了让解更加接近0，因为当c>0和当c<0是一种对称情况，如果存在一组x与y，是得当a,b>0，c>0时的最小非负整数解，那么-x与-y就一定是c<0时的最接近0的解。

此时

　　当a>=b时，y=-(y%a+a)%a，x=(c-b*gcd*y)/(a*gcd);

　　当a<b时，x=-(x%b+b)%b，y=(c-a*gcd*x)/(b*gcd);

　　(3).当a>0，b<0   或   a<0，b>0

　　此时方程可以看成ax-b'y=c(a*b'>0)，这时一定存在d与e，使得d-e=c，即ax-b'y=d-e，可以变形为e+ax=d+b'y

这个式子可以看做：

　　sum1=e+ax，sum2=d+b'y，sum1等于e加上x个a，sum2等于d加上y个b'，当sum1与sum2第一次相同（由于a*b'>0，当a与b同小于0时，第一次相同的时sum1=sum=sum，sum一定小于e和d，同理a与b'大于0）时，x与y的值为多少？

　　当d>e  =>  c>0时，当y>0时，x一定大于0，此时让y取解集中靠近0非负解，得到的x与y一定是最小非负解

此时：x=x%b<0?x%b+(b<0?-b:b):x%b，y=(c-a*gcd*x)/(b*gcd);

　　当d<e  =>  c<0时，当x>0时，y一定大于0，此时让x取解集中靠近0非负解，得到的x与y一定是最小非负解

此时：y=y%a<0?y%a+(a<0?-a:a):y%a，x=(c-b*gcd*y)/(a*gcd);

　　(当然，这个情况的求最小解的方法公式也可以得到其他情况的最小解)

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总结代码

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求：

1.a与b的最大公因数

2.求ax+by=c的某一个解

3.求ax+by=c的最小正整数解（如果不存在则求靠近0，0的解）

#include <iostream>
using namespace std;
*/long long getGcd(long long _a,long long _b){
    )    return _a;
    else    return getGcd(_b,_a%_b);
}
*/long long getExgcd(long long _a,long long _b,long long &_x,long long &_y){
    ){
        _x=,_y=;
        return _a;
    }
    long long _gcd=getExgcd(_b,_a%_b,_x,_y);
    long long _rx=_x;
    _x=_y;
    _y=_rx-_a/_b*_y;
    return _gcd;
}
*/long long getAnyCalc(long long _a,long long _b,long long _c,long long &_x,long long &_y){
    long long _gcd=getExgcd(_a,_b,_x,_y);
    ;
    long long _transit=_c/_gcd;
    _x*=_transit;_y*=_transit;
    return _gcd;
}
*/long long getUpCalc(long long _a,long long _b,long long _c,long long &_x,long long &_y){
    long long _gcd=getExgcd(_a,_b,_x,_y);
    ;
    long long _transit=_c/_gcd;
    _x*=_transit;_y*=_transit;
    long long __a=_a,__b=_b;
    _a/=_gcd;_b/=_gcd;
    _x=_x%_b<?_x%_b+(_b<?-_b:_b):_x%_b;
    _y=_y%_a<?_y%_a+(_a<?-_a:_a):_y%_a;
    )    _y=(_c-__a*_x)/__b;
    else    _x=(_c-__b*_y)/__a;
    return _gcd;
}
int main(){
    getGcd(
    getAnyCalc(long long a,long long b,long long c,long long x,long long y)//2,3
    getUpCalc(long long a,long long b,long long c,long long x,long long y)//2,4
}

三小问代码

使用说明：函数getGcd(long long a,long long b)求a与b的最大公约数（需要1号函数）

　　　　　函数getAnyCalc(long long a,long long b,long long c,long long x,long long y)求ax+by=c的某一个解（不存在解返回-1，存在返回gcd（a,b），解x与y传的是引用）（需要2，3号函数）

　　　　　函数getUpCalc(long long a,long long b,long long c,long long x,long long y)求ax+by=c的最小非负整数解（不存在解返回-1，存在解且不存在最小非负整数解则得到的解为靠近（0，0）的解且返回的是gcd（a,b））（需要2，4号函数）

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例题

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1.江西财经大学第二届程序设计竞赛同步赛----H-大时钟：https://blog.csdn.net/weixin_43702895/article/details/89422929